$a$ を定数とする。$x$ の2次関数 $f(x) = -2x^2 + 4ax - a^2 + 3$ ($0 \le x \le 2$) の最小値を $m(a)$ とする。$m(a)$ を $a$ の値で場合分けして求める。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。$x$ の2次関数 $f(x) = -2x^2 + 4ax - a^2 + 3$ ($0 \le x \le 2$) の最小値を $m(a)$ とする。$m(a)$ を $a$ の値で場合分けして求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = -2(x^2 - 2ax) - a^2 + 3$

$f(x) = -2(x - a)^2 + 2a^2 - a^2 + 3$

$f(x) = -2(x - a)^2 + a^2 + 3$

よって、$f(x)$ の軸は $x = a$ である。また、$f(x)$ は上に凸な放物線である。定義域は $0 \le x \le 2$ であるので、$a$ の値によって最小値をとる $x$ の値が変わる。

場合分けは以下のようになる。

(1) $a < 0$ のとき

$f(x)$ は区間 $[0, 2]$ で単調減少なので、$x=2$ で最小値をとる。

$m(a) = f(2) = -2(2)^2 + 4a(2) - a^2 + 3 = -8 + 8a - a^2 + 3 = -a^2 + 8a - 5$

(2) $0 \le a \le 2$ のとき

$f(x)$ は $x = a$ で最大値をとるので、$x=0$ または $x=2$ で最小値をとる。

$f(0) = -2(0)^2 + 4a(0) - a^2 + 3 = -a^2 + 3$

$f(2) = -a^2 + 8a - 5$

$f(0) = f(2)$ となる $a$ の値を求める。

$-a^2 + 3 = -a^2 + 8a - 5$

$3 = 8a - 5$

$8a = 8$

$a = 1$

したがって、

(i) $0 \le a < 1$ のとき、$f(0) > f(2)$ より、$m(a) = f(2) = -a^2 + 8a - 5$

(ii) $a = 1$ のとき、$f(0) = f(2)$ より、$m(1) = -1^2 + 3 = 2$, $m(1) = -1^2 + 8(1) - 5 = 2$

(iii) $1 < a \le 2$ のとき、$f(0) < f(2)$ より、$m(a) = f(0) = -a^2 + 3$

(3) $a > 2$ のとき

$f(x)$ は区間 $[0, 2]$ で単調増加なので、$x=0$ で最小値をとる。

$m(a) = f(0) = -2(0)^2 + 4a(0) - a^2 + 3 = -a^2 + 3$

以上をまとめると、

3. 最終的な答え

$m(a) = \begin{cases}

-a^2 + 8a - 5 & (a < 0) \\

-a^2 + 8a - 5 & (0 \le a < 1) \\

-a^2 + 3 & (1 < a \le 2) \\

-a^2 + 3 & (a > 2)

\end{cases}$

$a = 1$ の時、$m(1) = 2$ なので、以下のようにまとめる。

$m(a) = \begin{cases}

-a^2 + 8a - 5 & (a < 1) \\

-a^2 + 3 & (a \ge 1)

\end{cases}$