$a$ を定数とし、$x$ の2次関数 $f(x) = -2x^2 + 4ax - a^2$ ($1 \le x \le 3$) の最大値を $M(a)$ とする。$M(a)$ を $a$ の値で場合分けして求める。

1. 問題の内容

$a$ を定数とし、$x$ の2次関数 $f(x) = -2x^2 + 4ax - a^2$ ($1 \le x \le 3$) の最大値を $M(a)$ とする。$M(a)$ を $a$ の値で場合分けして求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

\begin{align*}

f(x) &= -2x^2 + 4ax - a^2 \\

&= -2(x^2 - 2ax) - a^2 \\

&= -2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) - a^2 \\

&= -2(x-a)^2 + 2a^2 - a^2 \\

&= -2(x-a)^2 + a^2

\end{align*}

したがって、$f(x)$ は頂点 $(a, a^2)$ の上に凸な放物線です。定義域が $1 \le x \le 3$ であることに注意し、軸 $x = a$ の位置によって場合分けを行います。

(1) $a < 1$ のとき

区間 $1 \le x \le 3$ において、$f(x)$ は単調減少なので、$x=1$ で最大値をとります。

$M(a) = f(1) = -2(1)^2 + 4a(1) - a^2 = -2 + 4a - a^2 = -(a^2 - 4a + 2) = -(a-2)^2+2$

(2) $1 \le a \le 3$ のとき

区間 $1 \le x \le 3$ に頂点が含まれるので、$x = a$ で最大値をとります。

$M(a) = f(a) = a^2$

(3) $3 < a$ のとき

区間 $1 \le x \le 3$ において、$f(x)$ は単調増加なので、$x=3$ で最大値をとります。

$M(a) = f(3) = -2(3)^2 + 4a(3) - a^2 = -18 + 12a - a^2 = -(a^2 - 12a + 18) = -(a-6)^2+18$

3. 最終的な答え

$M(a) = \begin{cases}

-a^2 + 4a - 2 & (a < 1) \\

a^2 & (1 \le a \le 3) \\

-a^2 + 12a - 18 & (3 < a)

\end{cases}$