ある商品を1個200円で仕入れ、売り値を変動させて販売する。売り値が250円のとき、1日に600個売れる。売り値を1円値下げすると、売上個数が15個増加し、1円値上げすると、売上個数が15個減少する。1日の利益を最大にするための仕入れ個数と1個あたりの売り値を求める問題。

1. 問題の内容

ある商品を1個200円で仕入れ、売り値を変動させて販売する。売り値が250円のとき、1日に600個売れる。売り値を1円値下げすると、売上個数が15個増加し、1円値上げすると、売上個数が15個減少する。1日の利益を最大にするための仕入れ個数と1個あたりの売り値を求める問題。

2. 解き方の手順

売り値を $x$ 円とすると、売り値を $250$ 円から $x-250$ 円変動させることになる。この時、売上個数は $600 + 15(250 - x)$ 個となる。

1個あたりの利益は $x - 200$ 円なので、1日の利益 $P$ は、

$P = (x - 200)(600 + 15(250 - x))$

$P = (x - 200)(600 + 3750 - 15x)$

$P = (x - 200)(4350 - 15x)$

$P = -15x^2 + 4350x + 3000x - 870000$

$P = -15x^2 + 7350x - 870000$

利益 $P$ を最大にする $x$ を求めるために、この二次関数を平方完成する。

$P = -15(x^2 - 490x) - 870000$

$P = -15(x^2 - 490x + 245^2 - 245^2) - 870000$

$P = -15(x - 245)^2 + 15(245^2) - 870000$

$P = -15(x - 245)^2 + 15(60025) - 870000$

$P = -15(x - 245)^2 + 900375 - 870000$

$P = -15(x - 245)^2 + 30375$

利益 $P$ が最大になるのは $x = 245$ のときである。

このときの売上個数は、

$600 + 15(250 - 245) = 600 + 15 \times 5 = 600 + 75 = 675$ 個である。

したがって、仕入れ個数は675個で、売り値は245円である。

3. 最終的な答え

仕入れ個数: 675個

売り値: 245円