画像に写っている数学の問題を解く。具体的には、集合の包含関係、命題の反例、必要条件・十分条件、二次関数のグラフ、放物線の式、およびグラフから係数の符号を判定する問題が含まれる。

1. 問題の内容

画像に写っている数学の問題を解く。具体的には、集合の包含関係、命題の反例、必要条件・十分条件、二次関数のグラフ、放物線の式、およびグラフから係数の符号を判定する問題が含まれる。

2. 解き方の手順

問題６：

A = {x | x >= -4} は-4以上の実数全体を表す。

B = {x | |x+1| <= 2} は不等式 $|x+1| \le 2$ を満たすxの集合を表す。

これは $-2 \le x+1 \le 2$ と同値であり、 $-3 \le x \le 1$ となる。

したがって、Bは-3以上1以下の実数全体を表す。

AとBを比較すると、BはAに含まれる（B⊆A）ため、AはBを含むと言える。

問題７：

Uは8以下の自然数全体。

A = {1, 2, 6, 7}, B = {2, 3}

7はAに含まれているので、$7 \in A$ である。

{2, 3, 4, 7} は B = {2, 3} を含んでいるので、{2, 3, 4, 7} $\supset$ Bである。

問題８：

(1) $a = 6$のとき、$q: |x - 6| > 2$ となる。すなわち、$x - 6 > 2$ または $x - 6 < -2$。

よって、$x > 8$ または $x < 4$。

命題「$p \implies q$」は、「$-2 \le x \le 4$ ならば、$x > 8$ または $x < 4$」となる。

この反例は、$p$を満たし、$q$を満たさない$x$である。例えば、$x = 4$は$-2 \le x \le 4$を満たすが、$4 > 8$または$4 < 4$は満たさない。

(2) $a = -1$のとき、$q: |x + 1| > 2$となる。すなわち、$x + 1 > 2$ または $x + 1 < -2$。

よって、$x > 1$ または $x < -3$。

$\overline{p}$は、$x < -2$ または $x > 4$。

$\overline{q}$は、$-3 \le x \le 1$。

条件「$\overline{p}$かつ$\overline{q}$」は、「($x < -2$または$x > 4$)かつ($-3 \le x \le 1$)」となる。

これは $-3 \le x < -2$となる。

条件$r:-5 < x \le 1$

「$\overline{p}$かつ$\overline{q}$」が$r$であるための条件を考える。

$-3 \le x < -2$ ならば $-5 < x \le 1$ は真なので、「$\overline{p}$かつ$\overline{q}$」は$r$であるための十分条件。

$-5 < x \le 1$ ならば $-3 \le x < -2$ は偽なので、「$\overline{p}$かつ$\overline{q}$」は$r$であるための必要条件ではない。

問題９：

$y = -x^2 - 4x - 5$

$y = -(x^2 + 4x) - 5$

$y = -(x^2 + 4x + 4) - 5 + 4$

$y = -(x + 2)^2 - 1$

グラフは上に凸の放物線で、頂点の座標は $(-2, -1)$。

問題１０：

軸が $x = 1$ なので、$y = a(x - 1)^2 + q$ と表せる。

(0, 5)を通るので、$5 = a(0 - 1)^2 + q = a + q$。

(-1, -10)を通るので、$-10 = a(-1 - 1)^2 + q = 4a + q$。

$4a + q = -10$

$a + q = 5$

$3a = -15$

$a = -5$

$q = 10$

よって、$y = -5(x - 1)^2 + 10$

問題１１：

グラフより、

$a < 0$

軸は $x = -1$ なので、$x = -\frac{b}{2a} = -1$ より $b = 2a < 0$

$c$ は y切片なので、$c < 0$

$b^2 - 4ac$ は判別式。グラフがx軸と2点で交わるので、$b^2 - 4ac > 0$

$x = 1$ のとき、$y = a + b + c$。グラフより、$x=1$ のとき、$y < 0$なので、$a + b + c < 0$

$x = -1$ のとき、$y = a - b + c$。グラフより、$x=-1$ のとき、$y = 0$なので、$a - b + c = 0$

3. 最終的な答え

問題６：②

問題７：ア=⓪、イ=②

問題８：ア=4、イ=①

問題９：ア=上、イ=(-2, -1)

問題１０：$y = -5(x - 1)^2 + 10$

問題１１：ア=②、イ=②、ウ=②、エ=⓪、オ=②、カ=①