## 数学の問題の回答

## 数学の問題の回答

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1. 問題の内容

画像に写っている3つの連立方程式をそれぞれ解いてください。

(1)

$x^2 + y^2 = 10$

$3x + y = 5$

(2)

$x^2 + y^2 = 8$

$x - y = -6$

(3)

$x^2 + y^2 + 2x - 4y + 3 = 0$

$7x + y - 5 = 0$

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2. 解き方の手順

各連立方程式について、以下の手順で解きます。

1. 一方の式から $x$ または $y$ について解き、他方の式に代入する。

2. 代入後の式を整理し、$x$ または $y$ についての方程式を解く。

3. 得られた $x$ または $y$ の値を代入し、もう一方の変数の値を求める。

#### (1) の解き方

1. $3x+y=5$ より $y = 5 - 3x$

2. これを $x^2 + y^2 = 10$ に代入すると

$x^2 + (5-3x)^2 = 10$

$x^2 + 25 - 30x + 9x^2 = 10$

$10x^2 - 30x + 15 = 0$

$2x^2 - 6x + 3 = 0$

これを解の公式で解くと

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36-4*2*3}}{4} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{2}$

3. $x = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ のとき、

$y = 5 - 3x = 5 - 3(\frac{3+\sqrt{3}}{2}) = \frac{10 - 9 - 3\sqrt{3}}{2} = \frac{1 - 3\sqrt{3}}{2}$

$x = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}$ のとき、

$y = 5 - 3x = 5 - 3(\frac{3-\sqrt{3}}{2}) = \frac{10 - 9 + 3\sqrt{3}}{2} = \frac{1 + 3\sqrt{3}}{2}$

#### (2) の解き方

1. $x-y=-6$ より $x = y - 6$

2. これを $x^2 + y^2 = 8$ に代入すると

$(y-6)^2 + y^2 = 8$

$y^2 - 12y + 36 + y^2 = 8$

$2y^2 - 12y + 28 = 0$

$y^2 - 6y + 14 = 0$

これを解の公式で解くと

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 * 14}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{-20}}{2}$

解は複素数になるため、実数解は存在しない。

#### (3) の解き方

1. $7x + y - 5 = 0$ より $y = 5 - 7x$

2. これを $x^2 + y^2 + 2x - 4y + 3 = 0$ に代入すると

$x^2 + (5 - 7x)^2 + 2x - 4(5 - 7x) + 3 = 0$

$x^2 + 25 - 70x + 49x^2 + 2x - 20 + 28x + 3 = 0$

$50x^2 - 40x + 8 = 0$

$25x^2 - 20x + 4 = 0$

$(5x - 2)^2 = 0$

$x = \frac{2}{5}$

3. $x = \frac{2}{5}$ のとき、

$y = 5 - 7x = 5 - 7(\frac{2}{5}) = \frac{25 - 14}{5} = \frac{11}{5}$

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3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}, y = \frac{1 - 3\sqrt{3}}{2}$

または

$x = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}, y = \frac{1 + 3\sqrt{3}}{2}$

(2) 実数解なし

(3) $x = \frac{2}{5}, y = \frac{11}{5}$