与えられた式 $x^2 - 3y^2 + 2xy + 7x + 13y + 10$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - 3y^2 + 2xy + 7x + 13y + 10$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$x^2 + (2y+7)x - 3y^2 + 13y + 10$

次に、定数項 $-3y^2 + 13y + 10$ を因数分解します。

$-3y^2 + 13y + 10 = -(3y^2 - 13y - 10) = -(3y + 2)(y - 5) = (3y+2)(5-y)$

元の式を因数分解した形を $(x+ay+b)(x+cy+d)$ と仮定すると、

$x^2 + (a+c)xy + acy^2 + (b+d)x + (ad+bc)y + bd$

与えられた式と係数を比較すると、

$a+c = 2$, $ac = -3$, $b+d = 7$, $ad+bc = 13$, $bd = 10$

定数項の因数分解の結果から、以下のようにおくことができます。

$-3y^2+13y+10 = (5-y)(3y+2)$ なので

$x^2 + (2y+7)x + (5-y)(3y+2)$ を因数分解すると

$(x+3y+2)(x-y+5)$になるのではないかと予想できます。

展開して確認します。

$(x+3y+2)(x-y+5) = x^2 -xy + 5x + 3xy -3y^2 + 15y + 2x -2y + 10$

$= x^2 + 2xy - 3y^2 + 7x + 13y + 10$

したがって、与えられた式は $(x+3y+2)(x-y+5)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x+3y+2)(x-y+5)$