与えられた式 $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ を計算し、簡単にします。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ を計算し、簡単にします。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役な式である $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}$

分子を展開します：

$(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 + 2(\sqrt{5})(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15}$

分母を展開します：

$(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$\frac{8 + 2\sqrt{15}}{2} = \frac{2(4 + \sqrt{15})}{2} = 4 + \sqrt{15}$

3. 最終的な答え

$4 + \sqrt{15}$