与えられた定積分 $\int_{0}^{1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} dx$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

与えられた定積分

$\int_{0}^{1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} dx$

の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を扱いやすい形に変形します。根号の中の分数の分母と分子に $(1-x)$ を掛けます。

$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \sqrt{\frac{(1-x)(1-x)}{(1+x)(1-x)}} = \sqrt{\frac{(1-x)^2}{1-x^2}} = \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}}$

したがって、積分は以下のようになります。

$\int_{0}^{1} \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx - \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

それぞれの積分を計算します。

第一項の積分は、$x = \sin\theta$ と置換すると、

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2\theta}} \cos\theta d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos\theta}{\cos\theta} d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 d\theta = [\theta]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}$

第二項の積分は、$u = 1-x^2$ と置換すると、$du = -2x dx$ となり、$x dx = -\frac{1}{2} du$ となります。

また、積分範囲は$x=0$のとき$u=1$、$x=1$のとき$u=0$となるので、

$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int_{1}^{0} \frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{u}} du = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} u^{-\frac{1}{2}} du = \frac{1}{2} [2u^{\frac{1}{2}}]_{0}^{1} = [u^{\frac{1}{2}}]_{0}^{1} = 1-0 = 1$

よって、

$\int_{0}^{1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} dx = \frac{\pi}{2} - 1$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2} - 1$