不定積分 $\int \frac{1}{\tan^2 x} dx$ を求める問題です。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{1}{\tan^2 x} dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ であることを利用して、被積分関数を書き換えます。

$\int \frac{1}{\tan^2 x} dx = \int \frac{1}{(\frac{\sin x}{\cos x})^2} dx = \int \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} dx$

次に、$\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{1 - \sin^2 x}{\sin^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x} - 1$ と変形します。

$\int \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} dx = \int (\frac{1}{\sin^2 x} - 1) dx$

ここで、$\frac{1}{\sin^2 x} = \csc^2 x$ であることを利用します。$\csc^2 x$ の原始関数は $-\cot x$ であることを知っています。また、1の原始関数は $x$ であることを知っています。したがって、

$\int (\frac{1}{\sin^2 x} - 1) dx = \int (\csc^2 x - 1) dx = -\cot x - x + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$-\cot x - x + C$