与えられた関数 $f(x, y)$ に対し、方向微分 $g_1(x,y;\theta) = \frac{\partial f}{\partial l_\theta}(x, y)$ と $g_2(x, y; \theta, \phi) = \frac{\partial g_1}{\partial l_\phi}(x, y; \theta)$ を定義する。 ここで、$l_\theta = (\cos \theta, \sin \theta)$ と $l_\phi = (\cos \phi, \sin \phi)$ は方向ベクトルである。以下の値を求める。 (1) $g_1(0, 0; \theta)$ (2) $g_2(0, 0; 0, \pi/2)$ と $g_2(0, 0; \pi/2, 0)$ (3) $g_2(0, 0; \pi/4, \pi/4)$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x, y)$ に対し、方向微分 $g_1(x,y;\theta) = \frac{\partial f}{\partial l_\theta}(x, y)$ と $g_2(x, y; \theta, \phi) = \frac{\partial g_1}{\partial l_\phi}(x, y; \theta)$ を定義する。

ここで、$l_\theta = (\cos \theta, \sin \theta)$ と $l_\phi = (\cos \phi, \sin \phi)$ は方向ベクトルである。以下の値を求める。

(1) $g_1(0, 0; \theta)$

(2) $g_2(0, 0; 0, \pi/2)$ と $g_2(0, 0; \pi/2, 0)$

(3) $g_2(0, 0; \pi/4, \pi/4)$

2. 解き方の手順

まず、$f(x, y)$ の $(0, 0)$ における方向微分を計算する。関数 $f(x, y)$ は $(0, 0)$ で微分可能なので、方向微分は通常の偏微分を用いて計算できる。

方向微分 $g_1(0, 0; \theta)$ は、定義より、

$g_1(0, 0; \theta) = \lim_{t \to 0} \frac{f(t \cos \theta, t \sin \theta) - f(0, 0)}{t}$

となる。

(1) $g_1(0, 0; \theta)$ を求める。

$f(t \cos \theta, t \sin \theta) = \frac{2(t \cos \theta)^3 (t \sin \theta) - 3(t \cos \theta) (t \sin \theta)^3}{(t \cos \theta)^2 + (t \sin \theta)^2} + (t \cos \theta) (t \sin \theta)^3 = \frac{2t^4 \cos^3 \theta \sin \theta - 3t^4 \cos \theta \sin^3 \theta}{t^2} + t^4 \cos \theta \sin^3 \theta = t^2 (2 \cos^3 \theta \sin \theta - 3 \cos \theta \sin^3 \theta) + t^4 \cos \theta \sin^3 \theta$

したがって、

$g_1(0, 0; \theta) = \lim_{t \to 0} \frac{t^2 (2 \cos^3 \theta \sin \theta - 3 \cos \theta \sin^3 \theta) + t^4 \cos \theta \sin^3 \theta}{t} = \lim_{t \to 0} t(2 \cos^3 \theta \sin \theta - 3 \cos \theta \sin^3 \theta) + t^3 \cos \theta \sin^3 \theta = 0$

(2) $g_2(x,y;\theta,\phi) = \frac{\partial g_1}{\partial l_\phi}(x,y;\theta)$ なので、$(0,0)$で

$g_2(0,0;\theta, \phi) = \lim_{t \to 0} \frac{g_1(t \cos \phi, t \sin \phi; \theta) - g_1(0, 0; \theta)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{g_1(t \cos \phi, t \sin \phi; \theta) - 0}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{g_1(t \cos \phi, t \sin \phi; \theta)}{t}$

$g_1(x, y; \theta) = \frac{\partial f}{\partial l_\theta}(x, y) = \cos \theta \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) + \sin \theta \frac{\partial f}{\partial y}(x, y)$

この問題では、$f(x,y)$ が $(0,0)$ で微分可能であることを用いると、$f_x(0,0) = 0$ かつ $f_y(0,0) = 0$ となるため、$g_1(0,0;\theta) = 0$ となる。

したがって、$g_2(0, 0; \theta, \phi) = 0$ となる。

よって、$g_2(0, 0; 0, \pi/2) = 0$ と $g_2(0, 0; \pi/2, 0) = 0$ である。

(3) $g_2(0, 0; \pi/4, \pi/4) = 0$ である。

3. 最終的な答え

(1) $g_1(0, 0; \theta) = 0$

(2) $g_2(0, 0; 0, \pi/2) = 0$, $g_2(0, 0; \pi/2, 0) = 0$

(3) $g_2(0, 0; \pi/4, \pi/4) = 0$