方程式 $a \cdot 2^x - x^2 = 0$ が異なる3つの実数解を持つような実数 $a$ の値をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

方程式 $a \cdot 2^x - x^2 = 0$ が異なる3つの実数解を持つような実数 $a$ の値をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を $a = \frac{x^2}{2^x}$ と変形します。

関数 $f(x) = \frac{x^2}{2^x}$ を考え、このグラフと $y=a$ のグラフが異なる3点で交わるような $a$ の値を求めれば良いことになります。

$f(x)$ の増減を調べるために、微分を計算します。

$f'(x) = \frac{2x \cdot 2^x - x^2 \cdot 2^x \cdot \ln 2}{(2^x)^2} = \frac{2x - x^2 \ln 2}{2^x} = \frac{x(2 - x \ln 2)}{2^x}$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 0$ または $x = \frac{2}{\ln 2}$ のときです。

増減表は次のようになります。

| x | ... | 0 | ... | 2/ln2 | ... |

| :------ | :------- | :------ | :------- | :------ | :------- |

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - |

| f(x) | 減少 | 0 | 増加 | 極大値 | 減少 |

$x \to \infty$ のとき、$f(x) \to 0$ であることを確認します。

$\lim_{x\to\infty} \frac{x^2}{2^x} = 0$ (ロピタルの定理を2回使う)

$x \to -\infty$ のとき、$f(x) \to \infty$ であることを確認します。

極大値は $f(\frac{2}{\ln 2}) = \frac{(\frac{2}{\ln 2})^2}{2^{\frac{2}{\ln 2}}} = \frac{4}{(\ln 2)^2 \cdot e^{\frac{2\ln 2}{\ln 2}}} = \frac{4}{4 (\ln 2)^2} = \frac{1}{(\ln 2)^2}$

したがって、$y=a$ のグラフが $f(x)$ のグラフと異なる3点で交わるためには、$0 < a < \frac{1}{(\ln 2)^2}$ である必要があります。

3. 最終的な答え

$0 < a < \frac{1}{(\ln 2)^2}$