関数 $f(x) = \frac{\log x}{\sqrt{x}}$ について、以下の問いに答えます。 (1) $x \ge 1$ における $f(x)$ の最大値と最小値を求めます。 (2) (1)の結果を利用して、$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = 0$ を示します。 (3) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log(\log x)}{\sqrt{x}}$ を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{\log x}{\sqrt{x}}$ について、以下の問いに答えます。

(1) $x \ge 1$ における $f(x)$ の最大値と最小値を求めます。

(2) (1)の結果を利用して、$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = 0$ を示します。

(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log(\log x)}{\sqrt{x}}$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \frac{\log x}{\sqrt{x}}$ を微分して増減を調べます。

$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \sqrt{x} - \log x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{2 - \log x}{2x\sqrt{x}}$

$f'(x) = 0$ となるのは $2 - \log x = 0$ すなわち $\log x = 2$ のときなので、$x = e^2$です。

$x \ge 1$ において、$f'(x)$ の符号を調べると、

$1 \le x < e^2$ のとき $f'(x) > 0$ なので、$f(x)$ は増加します。

$x > e^2$ のとき $f'(x) < 0$ なので、$f(x)$ は減少します。

したがって、$x = e^2$ で $f(x)$ は最大値をとります。

最大値は $f(e^2) = \frac{\log(e^2)}{\sqrt{e^2}} = \frac{2}{e}$ です。

$x=1$のとき、$f(1) = \frac{\log 1}{\sqrt{1}} = \frac{0}{1} = 0$です。

また、$x \to \infty$ のとき、$f(x) \to 0$ であることが、(2)で示されるはずです。

したがって、最小値は $0$です。

(2) (1)より、$x \ge 1$ において、$f(x) \le \frac{2}{e}$ です。

つまり、$\frac{\log x}{\sqrt{x}} \le \frac{2}{e}$ です。

$x > 1$ のとき、$\sqrt{x} > 0$ なので、$\log x \le \frac{2}{e} \sqrt{x}$ となります。

したがって、$\frac{\log x}{x} \le \frac{2}{e\sqrt{x}}$ となります。

$x \to \infty$ のとき、$\frac{2}{e\sqrt{x}} \to 0$ なので、$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = 0$ となります。

(3) $y = \log x$ とおくと、$x \to \infty$ のとき $y \to \infty$ です。

よって、$\lim_{x \to \infty} \frac{\log(\log x)}{\sqrt{x}} = \lim_{y \to \infty} \frac{\log y}{\sqrt{e^y}} = \lim_{y \to \infty} \frac{\log y}{e^{y/2}}$

ここで、$z = y/2$ とおくと、$y = 2z$ であり、$y \to \infty$ のとき $z \to \infty$ です。

$\lim_{y \to \infty} \frac{\log y}{e^{y/2}} = \lim_{z \to \infty} \frac{\log(2z)}{e^z} = \lim_{z \to \infty} \frac{\log 2 + \log z}{e^z} = \lim_{z \to \infty} \frac{\log 2}{e^z} + \lim_{z \to \infty} \frac{\log z}{e^z} = 0 + 0 = 0$

$\lim_{z \to \infty} \frac{\log z}{e^z} = 0$ は、ロピタルの定理より明らかです。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $\frac{2}{e}$、最小値: $0$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = 0$

(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log(\log x)}{\sqrt{x}} = 0$