$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ のとき、$\sin{3\theta} + \sin{2\theta} = 0$ を満たす $\theta$ を求める。

1. 問題の内容

$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ のとき、$\sin{3\theta} + \sin{2\theta} = 0$ を満たす $\theta$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の和積の公式 $\sin{A} + \sin{B} = 2\sin{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}$ を用いて、$\sin{3\theta} + \sin{2\theta} = 0$ を変形する。

$\sin{3\theta} + \sin{2\theta} = 2\sin{\frac{3\theta + 2\theta}{2}}\cos{\frac{3\theta - 2\theta}{2}} = 2\sin{\frac{5\theta}{2}}\cos{\frac{\theta}{2}} = 0$

したがって、$\sin{\frac{5\theta}{2}} = 0$ または $\cos{\frac{\theta}{2}} = 0$ である。

(i) $\sin{\frac{5\theta}{2}} = 0$ のとき

$\frac{5\theta}{2} = n\pi$ (nは整数)

$\theta = \frac{2n\pi}{5}$

条件 $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ より、

$0 \leq \frac{2n\pi}{5} \leq \frac{\pi}{2}$

$0 \leq \frac{2n}{5} \leq \frac{1}{2}$

$0 \leq 2n \leq \frac{5}{2}$

$0 \leq n \leq \frac{5}{4}$

$n = 0, 1$

$n = 0$ のとき、$\theta = 0$

$n = 1$ のとき、$\theta = \frac{2\pi}{5}$

(ii) $\cos{\frac{\theta}{2}} = 0$ のとき

$\frac{\theta}{2} = \frac{\pi}{2} + m\pi$ (mは整数)

$\theta = \pi + 2m\pi$

条件 $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ より、

$0 \leq \pi + 2m\pi \leq \frac{\pi}{2}$

$0 \leq 1 + 2m \leq \frac{1}{2}$

$-1 \leq 2m \leq -\frac{1}{2}$

$-\frac{1}{2} \leq m \leq -\frac{1}{4}$

これを満たす整数mは存在しない。

よって、求める $\theta$ は $0$ と $\frac{2\pi}{5}$ である。

3. 最終的な答え

$\theta = 0, \frac{2\pi}{5}$