関数 $y = x\sqrt{3-x}$ のグラフを描く問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x\sqrt{3-x}$ のグラフを描く問題です。

2. 解き方の手順

(1) 定義域を求めます。

根号の中身が0以上である必要があるため、$3-x \ge 0$ より、$x \le 3$。したがって、定義域は $x \le 3$ です。

(2) $y$切片を求めます。

$x=0$ のとき、$y = 0\sqrt{3-0} = 0$。したがって、$y$切片は $(0, 0)$ です。

(3) $x$切片を求めます。

$y=0$ のとき、$x\sqrt{3-x} = 0$。よって、$x=0$ または $3-x=0$。

$x=0$ または $x=3$。したがって、$x$切片は $(0, 0)$ と $(3, 0)$ です。

(4) 微分して増減を調べます。

$y' = \frac{d}{dx} (x\sqrt{3-x}) = \sqrt{3-x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{3-x}} \cdot (-1) = \sqrt{3-x} - \frac{x}{2\sqrt{3-x}}$

$y' = \frac{2(3-x) - x}{2\sqrt{3-x}} = \frac{6-3x}{2\sqrt{3-x}} = \frac{3(2-x)}{2\sqrt{3-x}}$

$y' = 0$ となるのは、$x=2$ のときです。

また、$x<2$ のとき $y' > 0$ であり、$2<x \le 3$ のとき $y' < 0$ です。したがって、$x=2$ で極大値を持ちます。

(5) 極大値を求めます。

$x=2$ のとき、$y = 2\sqrt{3-2} = 2\sqrt{1} = 2$。

したがって、極大値は $(2, 2)$ です。

(6) グラフの概形を描きます。

定義域は $x \le 3$ で、$x$切片は $(0, 0)$ と $(3, 0)$、$y$切片は $(0, 0)$。

$x=2$ で極大値 $2$ を取ることを考慮してグラフを描きます。

3. 最終的な答え

関数 $y = x\sqrt{3-x}$ のグラフは、$x \le 3$ の範囲で定義され、$x=0$ と $x=3$ で $x$軸と交わり、$x=2$ で極大値 $y=2$ をとるグラフとなります。（具体的なグラフの図示は省略します）