(1) 関数 $y = -x^2$ について、定義域が $-3 \le x \le a$ のとき、値域が $-16 \le y \le b$ となる。定数 $a$, $b$ の値を求めなさい。 (2) 関数 $y = ax^2$ ($a \ne 0$) について、定義域が $-6 \le x \le 5$ のとき、値域が $b \le y \le 12$ となる。定数 $a$, $b$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = -x^2$ について、定義域が $-3 \le x \le a$ のとき、値域が $-16 \le y \le b$ となる。定数 $a$, $b$ の値を求めなさい。

(2) 関数 $y = ax^2$ ($a \ne 0$) について、定義域が $-6 \le x \le 5$ のとき、値域が $b \le y \le 12$ となる。定数 $a$, $b$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1)

関数 $y = -x^2$ は上に凸のグラフである。

定義域 $-3 \le x \le a$ における $y$ の最小値は $-16$ で、最大値は $b$ である。

$x = -3$ のとき、$y = -(-3)^2 = -9$。

$x = 0$ のとき、$y = 0$。

したがって、$x=a$のとき$y=-16$でなければならない。

$-a^2 = -16$より、$a^2 = 16$。

$a$ は正の数なので、$a = 4$。

このとき、定義域は $-3 \le x \le 4$ となる。

$x = 0$ のとき、$y = 0$。

したがって、最大値は $b = 0$ である。

(2)

関数 $y = ax^2$ について、定義域が $-6 \le x \le 5$ のとき、値域が $b \le y \le 12$ となる。

$a > 0$ の場合、最小値は $x = 0$ のとき、$y = 0$ となるため、$b = 0$ である。

最大値は $x = -6$ のときか $x = 5$ のときのどちらかになる。

$x = -6$ のとき $y = 36a$、$x = 5$ のとき $y = 25a$。

$a > 0$ なので、$36a > 25a$。

したがって、$36a = 12$ となるので、$a = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$。

$a < 0$ の場合、最大値は $x = 0$ のとき、$y = 0$ となるため、$b = 12$はありえない。

よって、$a = \frac{1}{3}$ かつ $b = 0$ である。

3. 最終的な答え

(1) $a = 4$, $b = 0$

(2) $a = \frac{1}{3}$, $b = 0$