10個の文字 a, a, a, b, c, c, c, c, c, c をすべて使ってできる文字列は何通りあるか。

1. 問題の内容

10個の文字 a, a, a, b, c, c, c, c, c, c をすべて使ってできる文字列は何通りあるか。

2. 解き方の手順

これは同じものを含む順列の問題です。10個の文字を並べる順列の総数は $10!$ ですが、同じ文字が複数あるため、重複をなくす必要があります。

- a が3個あるので、$3!$ で割る。

- c が6個あるので、$6!$ で割る。

したがって、求める文字列の総数は次のようになります。

$\frac{10!}{3!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)}$

計算を簡略化します。

$\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 \times 7 = 10 \times 12 \times 7 = 120 \times 7 = 840$

3. 最終的な答え

840 通り