与えられた式 $a^2b - a^2 + 3a - 9b$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2b - a^2 + 3a - 9b$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、式を項の順番を入れ替えて見やすくする。

$a^2b - a^2 + 3a - 9b = a^2b - a^2 + 3a - 9b$

$a^2$ で最初の2項を括り、3 で残りの2項を括る。

$a^2(b - 1) + 3(a - 3b)$

これでは共通因数が現れないため、別の方法を試す。最初の2項と最後の2項をそれぞれ括ることを試みる。

$a^2(b-1) + 3(a-3b)$

式全体をよく見ると、$a^2b - a^2 + 3a - 9b = a^2(b-1) + 3(a-3b)$ となっている。

ここで、項の順番を入れ替えて、$a^2b - 9b - a^2 + 3a$ としてみる。

$b(a^2-9) - (a^2-3a)$

さらに、 $a^2-9$ は $(a-3)(a+3)$ に因数分解できるので、

$b(a-3)(a+3) - (a^2 - 3a)$

$=b(a-3)(a+3) - a(a-3)$

共通因数 $(a-3)$ で括ると、

$(a-3)[b(a+3) - a]$

$(a-3)[ab + 3b - a]$

したがって、$a^2b - a^2 + 3a - 9b = (a-3)(ab + 3b - a)$

3. 最終的な答え

$(a-3)(ab-a+3b)$