数列 $\{a_n\}$ の初項は 2 で、初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。数列 $\{S_n\}$ は漸化式 $S_{n+1} = \frac{1}{3}S_n + 3^{n+1}$ を満たす。 (1) $n=1$ および $n=2$ を漸化式に代入して、$a_2$ と $a_3$ を求める。 (2) $b_n = \frac{S_n}{3^n}$ によって数列 $\{b_n\}$ を定める。$b_1$ を求め、漸化式 $b_{n+1} = \frac{1}{3} b_n + 3$ を用いて $b_n$ と $b_{n+1}$ の関係式を導く。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項は 2 で、初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。数列 $\{S_n\}$ は漸化式 $S_{n+1} = \frac{1}{3}S_n + 3^{n+1}$ を満たす。

(1) $n=1$ および $n=2$ を漸化式に代入して、$a_2$ と $a_3$ を求める。

(2) $b_n = \frac{S_n}{3^n}$ によって数列 $\{b_n\}$ を定める。$b_1$ を求め、漸化式 $b_{n+1} = \frac{1}{3} b_n + 3$ を用いて $b_n$ と $b_{n+1}$ の関係式を導く。

2. 解き方の手順

(1) $n=1$ のとき、与えられた漸化式に代入すると、

$S_2 = \frac{1}{3} S_1 + 3^2 = \frac{1}{3} a_1 + 9 = \frac{2}{3} + 9 = \frac{29}{3}$.

$a_2 = S_2 - S_1 = \frac{29}{3} - 2 = \frac{23}{3}$.

$n=2$ のとき、与えられた漸化式に代入すると、

$S_3 = \frac{1}{3} S_2 + 3^3 = \frac{1}{3} \cdot \frac{29}{3} + 27 = \frac{29}{9} + 27 = \frac{29 + 243}{9} = \frac{272}{9}$.

$a_3 = S_3 - S_2 = \frac{272}{9} - \frac{29}{3} = \frac{272 - 87}{9} = \frac{185}{9}$.

(2) $b_n = \frac{S_n}{3^n}$ より、$b_1 = \frac{S_1}{3^1} = \frac{a_1}{3} = \frac{2}{3}$.

$b_{n+1} = \frac{S_{n+1}}{3^{n+1}}$ であり、漸化式 $S_{n+1} = \frac{1}{3} S_n + 3^{n+1}$ を用いると、

$b_{n+1} = \frac{\frac{1}{3} S_n + 3^{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{S_n}{3^{n+1}} + 1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{S_n}{3^n} \cdot \frac{1}{3} + 1 = \frac{1}{3} b_n + 1$.

よって、$b_{n+1} = \frac{1}{3}b_n+1$が成り立つ。

$b_{n+1} - \alpha = \frac{1}{3} (b_n - \alpha)$ と変形すると、

$b_{n+1} = \frac{1}{3} b_n + \frac{2}{3} \alpha$ となる。

$b_{n+1} = \frac{1}{3} b_n + 1$ と比較すると、$\frac{2}{3} \alpha = 1$ より $\alpha = \frac{3}{2}$。

よって、$b_{n+1} - \frac{3}{2} = \frac{1}{3}(b_n - \frac{3}{2})$.

3. 最終的な答え

ア: $\frac{23}{3}$

イウ: $\frac{185}{9}$

エ: 2

オ: 3

カ: 3

キ: 1

ク: 3

ケ: 2