複素数 $z$ に関する方程式 $z^4 + i = 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

複素数 $z$ に関する方程式 $z^4 + i = 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

(1) 方程式を $z^4 = -i$ と変形します。

(2) 複素数 $-i$ を極形式で表します。

$-i = \cos{\frac{3\pi}{2}} + i \sin{\frac{3\pi}{2}} = e^{i\frac{3\pi}{2}}$

より、一般的には

$-i = e^{i(\frac{3\pi}{2} + 2k\pi)}$ (ただし、$k$ は整数)

と書けます。

(3) $z^4 = -i$ より、

$z = (-i)^{\frac{1}{4}} = \left( e^{i(\frac{3\pi}{2} + 2k\pi)} \right)^{\frac{1}{4}} = e^{i(\frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2})}$

となります。

(4) $k = 0, 1, 2, 3$ を代入して、異なる4つの解を求めます。

$k=0$ のとき、$z_0 = e^{i\frac{3\pi}{8}} = \cos{\frac{3\pi}{8}} + i \sin{\frac{3\pi}{8}}$

$k=1$ のとき、$z_1 = e^{i(\frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{2})} = e^{i\frac{7\pi}{8}} = \cos{\frac{7\pi}{8}} + i \sin{\frac{7\pi}{8}}$

$k=2$ のとき、$z_2 = e^{i(\frac{3\pi}{8} + \pi)} = e^{i\frac{11\pi}{8}} = \cos{\frac{11\pi}{8}} + i \sin{\frac{11\pi}{8}}$

$k=3$ のとき、$z_3 = e^{i(\frac{3\pi}{8} + \frac{3\pi}{2})} = e^{i\frac{15\pi}{8}} = \cos{\frac{15\pi}{8}} + i \sin{\frac{15\pi}{8}}$

3. 最終的な答え

$z = \cos{\frac{3\pi}{8}} + i \sin{\frac{3\pi}{8}}$, $\cos{\frac{7\pi}{8}} + i \sin{\frac{7\pi}{8}}$, $\cos{\frac{11\pi}{8}} + i \sin{\frac{11\pi}{8}}$, $\cos{\frac{15\pi}{8}} + i \sin{\frac{15\pi}{8}}$