初項が2の数列 $\{a_n\}$ があり、その初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。数列 $\{S_n\}$ は漸化式 $S_{n+1} = \frac{1}{2}S_n + 3^{n+1}$ (n=1, 2, 3, ...) を満たす。 (1) $n=1$ を代入して $a_2$ を求め、$n=2$ を代入して $a_3$ を求める。 (2) $b_n = \frac{S_n}{3^n}$ (n=1, 2, 3, ...) により数列 $\{b_n\}$ を定める。このとき、$b_1$ を求め、$b_n$ と $b_{n+1}$ の関係式を求め、さらに変形する。

1. 問題の内容

初項が2の数列 $\{a_n\}$ があり、その初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。数列 $\{S_n\}$ は漸化式 $S_{n+1} = \frac{1}{2}S_n + 3^{n+1}$ (n=1, 2, 3, ...) を満たす。

(1) $n=1$ を代入して $a_2$ を求め、$n=2$ を代入して $a_3$ を求める。

(2) $b_n = \frac{S_n}{3^n}$ (n=1, 2, 3, ...) により数列 $\{b_n\}$ を定める。このとき、$b_1$ を求め、$b_n$ と $b_{n+1}$ の関係式を求め、さらに変形する。

2. 解き方の手順

(1)

$S_1 = a_1 = 2$

①に $n=1$ を代入すると、

$S_2 = \frac{1}{2}S_1 + 3^{1+1} = \frac{1}{2}(2) + 3^2 = 1 + 9 = 10$

$a_2 = S_2 - S_1 = 10 - 2 = 8$

①に $n=2$ を代入すると、

$S_3 = \frac{1}{2}S_2 + 3^{2+1} = \frac{1}{2}(10) + 3^3 = 5 + 27 = 32$

$a_3 = S_3 - S_2 = 32 - 10 = 22$

(2)

$b_n = \frac{S_n}{3^n}$ なので、

$b_1 = \frac{S_1}{3^1} = \frac{2}{3}$

$S_{n+1} = \frac{1}{2}S_n + 3^{n+1}$ の両辺を $3^{n+1}$ で割ると、

$\frac{S_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{S_n}{3^{n+1}} + 1$

$b_{n+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{S_n}{3^n \cdot 3} + 1 = \frac{1}{6} \cdot \frac{S_n}{3^n} + 1 = \frac{1}{6}b_n + 1$

$b_{n+1} = \frac{1}{6}b_n + 1$

$b_{n+1} - \alpha = \frac{1}{6}(b_n - \alpha)$ と変形すると、

$b_{n+1} = \frac{1}{6}b_n - \frac{1}{6}\alpha + \alpha = \frac{1}{6}b_n + \frac{5}{6}\alpha$

よって、$\frac{5}{6}\alpha = 1$ より $\alpha = \frac{6}{5}$

したがって、$b_{n+1} - \frac{6}{5} = \frac{1}{6}(b_n - \frac{6}{5})$

3. 最終的な答え

ア: 8

イウ: 22

エ: 2

オ: 3

カ: 6

キ: 1

ク: 6

ケ: 5