問題は複素数平面上の点の位置関係と、それらに関する条件を満たす点の軌跡、最大値、偏角を求めるものです。具体的には、以下の内容が含まれます。 - 複素数 $\alpha = 1 + \sqrt{3}i$ の極形式表示 - $|z|=1$ を満たす複素数 $z$ に関する条件式 - $|z - \alpha|$ の最大値 - $\arg(z-2)$ の最大値と、そのときの $z$ の値

1. 問題の内容

問題は複素数平面上の点の位置関係と、それらに関する条件を満たす点の軌跡、最大値、偏角を求めるものです。具体的には、以下の内容が含まれます。

- 複素数 $\alpha = 1 + \sqrt{3}i$ の極形式表示

- $|z|=1$ を満たす複素数 $z$ に関する条件式

- $|z - \alpha|$ の最大値

- $\arg(z-2)$ の最大値と、そのときの $z$ の値

2. 解き方の手順

(1) $\alpha$ の極形式表示

$\alpha = 1 + \sqrt{3}i$ の絶対値は $|\alpha| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$ です。

偏角 $\theta$ は、$\cos \theta = \frac{1}{2}$ かつ $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たすので、$\theta = \frac{\pi}{3}$ です。

したがって、$\alpha = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})$ となります。

よって、キ = 2、ク = 3

(2) $z$ に関する条件式

$|z|=1$ は、複素数平面上で原点を中心とする半径1の円を表します。これは $|z| = 1$ と表されます。

よって、ケ = 2

(3) $|z - \alpha|$ の最大値

$|z - \alpha|$ は、点 $z$ と点 $\alpha$ の距離を表します。$z$ は原点を中心とする半径1の円上を動くので、$|z - \alpha|$ が最大となるのは、$z$ が原点と $\alpha$ を結ぶ直線上で、$\alpha$ から最も遠い点にあるときです。

$|\alpha| = 2$ なので、$|z - \alpha|$ の最大値は $1 + 2 = 3$ となります。

よって、コ = 3

(4) $\arg(z-2)$ の最大値

$z$ は $|z|=1$ を満たすので、原点を中心とする半径1の円周上を動きます。$z-2$ は、複素数平面上で点2を中心とした円周上の点を表します。$z-2$ の偏角が最大となるのは、原点から円に引いた接線が偏角を最大にする時です。

このとき、円の中心(原点), 接点(z), z-2 が作る三角形は直角三角形となります。

中心からの距離は2、半径は1なので、$\sin \theta = \frac{1}{2}$ となります。

したがって、$\theta = \frac{\pi}{6}$ であり、$z-2$の偏角の最大値は $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ です。

よって、サ = 3

このとき、$z_1 = \cos(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}) + i \sin(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{2\pi}{3}) + i \sin(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{z_1}{\alpha} = \frac{-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + i\sqrt{3}} = \frac{(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})(1 - i\sqrt{3})}{(1 + i\sqrt{3})(1 - i\sqrt{3})} = \frac{-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}}{1 + 3} = \frac{1 + i\sqrt{3}}{4} = \frac{1 + i\sqrt{3}}{4}$

よって、シス=1, セ=3, ソ=4

3. 最終的な答え

キ = 2

ク = 3

ケ = 2

コ = 3

サ = 3

シス = 1

セ = 3

ソ = 4