2人の先生と6人の生徒が輪になって並ぶ。 (1) すべての並び方は何通りあるか。 (2) 先生どうしが隣り合う並び方は何通りあるか。 (3) 先生どうしが向かい合う並び方は何通りあるか。

1. 問題の内容

2人の先生と6人の生徒が輪になって並ぶ。

(1) すべての並び方は何通りあるか。

(2) 先生どうしが隣り合う並び方は何通りあるか。

(3) 先生どうしが向かい合う並び方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 全体の並び方

2人の先生と6人の生徒の合計8人が輪になって並ぶので、円順列の公式より、並び方は $(8-1)!$ 通り。

$$(8-1)! = 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$$

(2) 先生が隣り合う並び方

2人の先生を1つのグループとみなす。すると、1つの先生グループと6人の生徒で合計7つの要素を輪に並べることになる。

円順列の公式より、並び方は $(7-1)! = 6!$ 通り。

$$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$$

さらに、先生グループの中で、先生2人の並び方が2通りあるので、先生が隣り合う並び方は $6! \times 2$ 通り。

$$6! \times 2 = 720 \times 2 = 1440$$

(3) 先生が向かい合う並び方

まず、1人の先生の位置を固定する。

次に、もう1人の先生を、最初に固定した先生の向かい側に配置する。これは1通り。

残りの6人の生徒を、残りの6つの席に並べる。これは $6!$ 通り。

$$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$$

3. 最終的な答え

(1) すべての並び方は5040通り。

(2) 先生どうしが隣り合う並び方は1440通り。

(3) 先生どうしが向かい合う並び方は720通り。