次の方程式を解く問題です。 (1) $x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 5x - 2 = 0$ (2) $(x-1)(x-2)(x-3) = 4 \cdot 3 \cdot 2$ (3) $2x^3 - 9x^2 + 2 = 0$ (4) $(x^2 - 4x)^2 - (x^2 - 4x) - 6 = 0$ (5) $(x^2 + 2x - 3)(x^2 + 2x + 4) = 8$ (6) $x^4 + 4 = 0$

はい、承知いたしました。画像にある6つの問題を解いていきます。

1. 問題の内容

次の方程式を解く問題です。

(1) $x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 5x - 2 = 0$

(2) $(x-1)(x-2)(x-3) = 4 \cdot 3 \cdot 2$

(3) $2x^3 - 9x^2 + 2 = 0$

(4) $(x^2 - 4x)^2 - (x^2 - 4x) - 6 = 0$

(5) $(x^2 + 2x - 3)(x^2 + 2x + 4) = 8$

(6) $x^4 + 4 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 5x - 2 = 0$

因数定理を利用して解きます。$P(x) = x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 5x - 2$ とおくと、$P(1) = 1+4+2-5-2 = 0$ なので、$x-1$ を因数に持ちます。組み立て除法により、$x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 5x - 2 = (x-1)(x^3 + 5x^2 + 7x + 2)$ となります。

さらに、$Q(x) = x^3 + 5x^2 + 7x + 2$ とおくと、$Q(-2) = -8 + 20 - 14 + 2 = 0$ なので、$x+2$ を因数に持ちます。組み立て除法により、$x^3 + 5x^2 + 7x + 2 = (x+2)(x^2 + 3x + 1)$ となります。

したがって、$x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 5x - 2 = (x-1)(x+2)(x^2 + 3x + 1) = 0$ となります。

$x^2 + 3x + 1 = 0$ を解くと、$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(1)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$ となります。

(2) $(x-1)(x-2)(x-3) = 4 \cdot 3 \cdot 2$

$(x-1)(x-2)(x-3) = 24$

$(x-1)(x^2 - 5x + 6) = 24$

$x^3 - 5x^2 + 6x - x^2 + 5x - 6 = 24$

$x^3 - 6x^2 + 11x - 30 = 0$

因数定理より、$x=5$ が解であることを見つけます。

$(x-5)(x^2 - x + 6) = 0$

$x^2 - x + 6 = 0$ を解くと、$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(6)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-23}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{23}}{2}$ となります。

(3) $2x^3 - 9x^2 + 2 = 0$

因数定理を用いて、$x = \frac{1}{2}$ が解の一つであることを見つけます。

$2(\frac{1}{2})^3 - 9(\frac{1}{2})^2 + 2 = \frac{1}{4} - \frac{9}{4} + 2 = \frac{-8}{4} + 2 = -2 + 2 = 0$.

したがって、$2x-1$ を因数に持ちます。

$2x^3 - 9x^2 + 2 = (2x-1)(x^2 - 4x - 2)$

$x^2 - 4x - 2 = 0$ を解くと、$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$.

(4) $(x^2 - 4x)^2 - (x^2 - 4x) - 6 = 0$

$y = x^2 - 4x$ とおくと、$y^2 - y - 6 = 0$ となります。

$(y-3)(y+2) = 0$

$y = 3, -2$

$x^2 - 4x = 3$ のとき、$x^2 - 4x - 3 = 0$。 $x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-3)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 2 \pm \sqrt{7}$.

$x^2 - 4x = -2$ のとき、$x^2 - 4x + 2 = 0$。 $x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(2)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$.

(5) $(x^2 + 2x - 3)(x^2 + 2x + 4) = 8$

$y = x^2 + 2x$ とおくと、$(y-3)(y+4) = 8$

$y^2 + y - 12 = 8$

$y^2 + y - 20 = 0$

$(y+5)(y-4) = 0$

$y = -5, 4$

$x^2 + 2x = -5$ のとき、$x^2 + 2x + 5 = 0$。 $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(5)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$.

$x^2 + 2x = 4$ のとき、$x^2 + 2x - 4 = 0$。 $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$.

(6) $x^4 + 4 = 0$

$x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2 = (x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2) = 0$

$x^2 + 2x + 2 = 0$ のとき、$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(2)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{-2 \pm 2i}{2} = -1 \pm i$.

$x^2 - 2x + 2 = 0$ のとき、$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(2)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i$.

3. 最終的な答え

(1) $x = 1, -2, \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$

(2) $x = 5, \frac{1 + i\sqrt{23}}{2}, \frac{1 - i\sqrt{23}}{2}$

(3) $x = \frac{1}{2}, 2 + \sqrt{6}, 2 - \sqrt{6}$

(4) $x = 2 + \sqrt{7}, 2 - \sqrt{7}, 2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}$

(5) $x = -1 + 2i, -1 - 2i, -1 + \sqrt{5}, -1 - \sqrt{5}$

(6) $x = -1 + i, -1 - i, 1 + i, 1 - i$