(1) 複素平面における偏角の記号、絶対値 $r$、偏角 $\theta$ を用いた複素数 $z$ の極形式について答える。 (2) 複素数 $z = 1 + \sqrt{3}i$ の絶対値、偏角、極形式を求める。 (3) 複素数 $z_1, z_2$ の絶対値を $r_1, r_2$、偏角を $\theta_1, \theta_2$ とするとき、積 $z_1 z_2$ の絶対値、偏角、ド・モアブルの公式について答える。 (4) 点 $P(3, 4)$ を原点 $O$ を中心に $\frac{\pi}{3}$ 回転させた点 $P'$ の座標を求める。

1. 問題の内容

(1) 複素平面における偏角の記号、絶対値 $r$、偏角 $\theta$ を用いた複素数 $z$ の極形式について答える。

(2) 複素数 $z = 1 + \sqrt{3}i$ の絶対値、偏角、極形式を求める。

(3) 複素数 $z_1, z_2$ の絶対値を $r_1, r_2$、偏角を $\theta_1, \theta_2$ とするとき、積 $z_1 z_2$ の絶対値、偏角、ド・モアブルの公式について答える。

(4) 点 $P(3, 4)$ を原点 $O$ を中心に $\frac{\pi}{3}$ 回転させた点 $P'$ の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1)

偏角の記号は $\arg z$ です。

複素数 $z$ の極形式は $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ です。

(2)

$z = 1 + \sqrt{3}i$ の絶対値は

$|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

$z = 1 + \sqrt{3}i$ の偏角は

$\arg z = \arctan \frac{\sqrt{3}}{1} = \frac{\pi}{3}$

したがって、極形式は

$z = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})$

虚数単位 $i$ の極形式は、$i = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}$

(3)

$z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1), z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)$ とすると、

$z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)$

$= r_1 r_2 (\cos \theta_1 \cos \theta_2 - \sin \theta_1 \sin \theta_2 + i(\sin \theta_1 \cos \theta_2 + \cos \theta_1 \sin \theta_2))$

$= r_1 r_2 (\cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2))$

したがって、$z_1 z_2$ の絶対値は $r_1 r_2$、偏角は $\theta_1 + \theta_2$ である。

特に、ド・モアブルの公式は $(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos n\theta + i \sin n\theta$

(4)

点 $P(3, 4)$ を原点 $O$ を中心に $\frac{\pi}{3}$ 回転させた点 $P'$ の座標を求める。

複素数平面で考えると、$z = 3 + 4i$ を $\frac{\pi}{3}$ 回転させるので、

$z' = (3 + 4i)(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})$

$= (3 + 4i)(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2})$

$= \frac{3}{2} - 2\sqrt{3} + i(2 + \frac{3\sqrt{3}}{2})$

したがって、 $P'(\frac{3}{2} - 2\sqrt{3}, 2 + \frac{3\sqrt{3}}{2})$

3. 最終的な答え

(1) $\arg z$, $r(\cos \theta + i \sin \theta)$

(2) $|z| = 2$, $\arg z = \frac{\pi}{3}$, $z = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})$, $i = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}$

(3) $r_1 r_2$, $\theta_1 + \theta_2$, $(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos n\theta + i \sin n\theta$

(4) $P'(\frac{3}{2} - 2\sqrt{3}, 2 + \frac{3\sqrt{3}}{2})$