袋の中に白玉8個、赤玉4個、黒玉3個が入っている。袋から玉を1個取り出し、色を確認した後、元に戻す操作を5回繰り返す。黒玉が出る回数を $X$ とするとき、$X$ が従う二項分布を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に白玉8個、赤玉4個、黒玉3個が入っている。袋から玉を1個取り出し、色を確認した後、元に戻す操作を5回繰り返す。黒玉が出る回数を $X$ とするとき、$X$ が従う二項分布を求めよ。

2. 解き方の手順

二項分布は $B(n, p)$ で表され、$n$ は試行回数、$p$ は各試行で成功する確率を表します。

この問題では、

- 試行回数 $n$ は、玉を取り出して元に戻す操作を繰り返す回数なので、$n = 5$ です。

- 各試行で黒玉が出る確率 $p$ は、袋の中の黒玉の個数を全体の玉の個数で割ることで求められます。

全体の玉の個数は $8 + 4 + 3 = 15$ 個です。

黒玉の個数は $3$ 個なので、$p = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} = 0.2$ です。

したがって、$X$ は二項分布 $B(5, 0.2)$ に従います。

3. 最終的な答え

$B(5, 0.2)$