問題67: 放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ を、(1) $y$ 軸方向に平行移動、(2) $x$ 軸方向に平行移動して原点を通るようにした放物線の方程式を求める。 問題68: ある放物線を $x$ 軸方向に $1$, $y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動したとき、移動後の放物線が $y = -2x^2 + 3x - 1$ であった。もとの放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

問題67: 放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ を、(1) $y$ 軸方向に平行移動、(2) $x$ 軸方向に平行移動して原点を通るようにした放物線の方程式を求める。

問題68: ある放物線を $x$ 軸方向に $1$, $y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動したとき、移動後の放物線が $y = -2x^2 + 3x - 1$ であった。もとの放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

**問題67 (1)**

$y$ 軸方向に $k$ だけ平行移動すると、方程式は $y = x^2 - 4x + 3 + k$ となる。

この放物線が原点 $(0, 0)$ を通るので、

$0 = 0^2 - 4(0) + 3 + k$

$0 = 3 + k$

$k = -3$

したがって、求める放物線の方程式は

$y = x^2 - 4x + 3 - 3$

$y = x^2 - 4x$

**問題67 (2)**

$x$ 軸方向に $h$ だけ平行移動すると、方程式は $y = (x - h)^2 - 4(x - h) + 3$ となる。

この放物線が原点 $(0, 0)$ を通るので、

$0 = (0 - h)^2 - 4(0 - h) + 3$

$0 = h^2 + 4h + 3$

$0 = (h + 1)(h + 3)$

$h = -1, -3$

したがって、求める放物線の方程式は

$h = -1$ のとき、

$y = (x + 1)^2 - 4(x + 1) + 3 = x^2 + 2x + 1 - 4x - 4 + 3 = x^2 - 2x$

$h = -3$ のとき、

$y = (x + 3)^2 - 4(x + 3) + 3 = x^2 + 6x + 9 - 4x - 12 + 3 = x^2 + 2x$

**問題68**

もとの放物線を $y = f(x)$ とする。

$x$ 軸方向に $1$, $y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動すると、

$y + 2 = f(x - 1)$

$y = f(x - 1) - 2$

移動後の放物線は $y = -2x^2 + 3x - 1$ であるから、

$-2x^2 + 3x - 1 = f(x - 1) - 2$

$f(x - 1) = -2x^2 + 3x + 1$

$x - 1 = t$ とおくと、$x = t + 1$

$f(t) = -2(t + 1)^2 + 3(t + 1) + 1$

$f(t) = -2(t^2 + 2t + 1) + 3t + 3 + 1$

$f(t) = -2t^2 - 4t - 2 + 3t + 4$

$f(t) = -2t^2 - t + 2$

よって、もとの放物線の方程式は

$y = -2x^2 - x + 2$

3. 最終的な答え

問題67 (1): $y = x^2 - 4x$

問題67 (2): $y = x^2 - 2x$, $y = x^2 + 2x$

問題68: $y = -2x^2 - x + 2$