二次関数 $y = ax^2 + bx + c$ を平方完成し、$y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形し、グラフに関する空欄を埋める問題です。具体的には、 (1) $y = x^2 + 10x$ (2) $y = x^2 - 18x + 80$ の2つの関数について、平方完成を行い、頂点、軸、グラフの向きを答えます。

1. 問題の内容

二次関数 $y = ax^2 + bx + c$ を平方完成し、$y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形し、グラフに関する空欄を埋める問題です。具体的には、

(1) $y = x^2 + 10x$

(2) $y = x^2 - 18x + 80$

の2つの関数について、平方完成を行い、頂点、軸、グラフの向きを答えます。

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 + 10x$

まず、$x^2 + 10x$ を平方完成します。 $x$ の係数10の半分は5なので、$(x+5)^2 = x^2 + 10x + 25$ です。したがって、

$x^2 + 10x = (x+5)^2 - 25$

となります。

ゆえに、 $y = (x+5)^2 - 25$

(2) $y = x^2 - 18x + 80$

まず、$x^2 - 18x$ を平方完成します。 $x$ の係数-18の半分は-9なので、 $(x-9)^2 = x^2 - 18x + 81$ です。したがって、

$x^2 - 18x = (x-9)^2 - 81$

となります。

ゆえに、$y = (x-9)^2 - 81 + 80 = (x-9)^2 - 1$

頂点は$(9, -1)$ であり、軸は直線 $x=9$ です。

$x^2$ の係数が1で正なので、グラフは下に凸です。

3. 最終的な答え

(1) $y = x^2 + 10x = (x + 5)^2 - 25$

(2) $y = x^2 - 18x + 80 = (x - 9)^2 - 81 + 80 = (x - 9)^2 - 1$

頂点 $(9, -1)$ 、軸は直線 $x = 9$ 、下に凸