与えられた複素数の式を、直交形式 $x+jy$ または極形式 $|z|e^{j\theta}$ で表す問題です。ここで、$j$ は虚数単位を表します。

1. 問題の内容

与えられた複素数の式を、直交形式 $x+jy$ または極形式 $|z|e^{j\theta}$ で表す問題です。ここで、$j$ は虚数単位を表します。

2. 解き方の手順

**直交形式で表す問題**

* 問題1: $-j(1+j)(2-j3)$

1. $(1+j)(2-j3)$ を展開します。

$(1+j)(2-j3) = 2 - 3j + 2j - 3j^2 = 2 - j + 3 = 5 - j$

2. $-j(5-j)$ を計算します。

$-j(5-j) = -5j + j^2 = -1 - 5j$

* 問題2: $\frac{1+j3}{5-j2} + j$

1. $\frac{1+j3}{5-j2}$ を計算するために、分母の共役複素数 $5+j2$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{1+j3}{5-j2} = \frac{(1+j3)(5+j2)}{(5-j2)(5+j2)} = \frac{5 + 2j + 15j + 6j^2}{25 - 4j^2} = \frac{5 + 17j - 6}{25 + 4} = \frac{-1 + 17j}{29} = -\frac{1}{29} + \frac{17}{29}j$

2. $-\frac{1}{29} + \frac{17}{29}j + j$ を計算します。

$-\frac{1}{29} + \frac{17}{29}j + j = -\frac{1}{29} + (\frac{17}{29} + 1)j = -\frac{1}{29} + \frac{46}{29}j$

**極形式で表す問題**

* 問題3: $\left(\frac{2 + j2}{1-j\sqrt{3}}\right)^3$

1. $\frac{2 + j2}{1-j\sqrt{3}}$ を計算するために、分母の共役複素数 $1+j\sqrt{3}$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{2 + j2}{1-j\sqrt{3}} = \frac{(2 + j2)(1+j\sqrt{3})}{(1-j\sqrt{3})(1+j\sqrt{3})} = \frac{2 + 2j\sqrt{3} + 2j + 2j^2\sqrt{3}}{1 - j^2(3)} = \frac{2 + j(2+2\sqrt{3}) - 2\sqrt{3}}{1 + 3} = \frac{2 - 2\sqrt{3} + j(2+2\sqrt{3})}{4} = \frac{1-\sqrt{3}}{2} + j\frac{1+\sqrt{3}}{2}$

2. $x = \frac{1-\sqrt{3}}{2}$、$y = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$ とすると、$r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(\frac{1-\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1+\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1 - 2\sqrt{3} + 3 + 1 + 2\sqrt{3} + 3}{4}} = \sqrt{\frac{8}{4}} = \sqrt{2}$

3. $\tan(\theta) = \frac{y}{x} = \frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}} = \frac{(1+\sqrt{3})^2}{1-3} = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{-2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -2-\sqrt{3}$

よって、$\theta = \frac{5\pi}{12}$

4. $\left(\sqrt{2} e^{j\frac{5\pi}{12}}\right)^3 = 2^{\frac{3}{2}}e^{j\frac{5\pi}{4}} = 2\sqrt{2}e^{j\frac{5\pi}{4}}$

* 問題4: $\left(\frac{-1 + j\sqrt{3}}{2-j2}\right)^3$

1. $\frac{-1 + j\sqrt{3}}{2-j2}$ を計算するために、分母の共役複素数 $2+j2$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{-1 + j\sqrt{3}}{2-j2} = \frac{(-1 + j\sqrt{3})(2+j2)}{(2-j2)(2+j2)} = \frac{-2 - 2j + 2j\sqrt{3} + 2j^2\sqrt{3}}{4 - 4j^2} = \frac{-2 - 2\sqrt{3} + j(-2+2\sqrt{3})}{4+4} = \frac{-2 - 2\sqrt{3} + j(-2+2\sqrt{3})}{8} = \frac{-1-\sqrt{3}}{4} + j\frac{-1+\sqrt{3}}{4}$

2. $x = \frac{-1-\sqrt{3}}{4}$、$y = \frac{-1+\sqrt{3}}{4}$ とすると、$r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(\frac{-1-\sqrt{3}}{4})^2 + (\frac{-1+\sqrt{3}}{4})^2} = \sqrt{\frac{1 + 2\sqrt{3} + 3 + 1 - 2\sqrt{3} + 3}{16}} = \sqrt{\frac{8}{16}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

3. $\tan(\theta) = \frac{y}{x} = \frac{-1+\sqrt{3}}{-1-\sqrt{3}} = \frac{(-1+\sqrt{3})(-1+\sqrt{3})}{1-3} = \frac{1 - 2\sqrt{3} + 3}{-2} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{-2} = -2+\sqrt{3}$

よって、$\theta = \frac{5\pi}{12}$

4. $\left(\frac{1}{\sqrt{2}} e^{j\frac{5\pi}{12}}\right)^3 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3 e^{j\frac{5\pi}{4}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}e^{j\frac{5\pi}{4}}$

3. 最終的な答え

* 問題1: $-1-5j$

* 問題2: $-\frac{1}{29} + \frac{46}{29}j$

* 問題3: $2\sqrt{2}e^{j\frac{5\pi}{4}}$

* 問題4: $\frac{1}{2\sqrt{2}}e^{j\frac{5\pi}{4}}$