不等式 $x^2 + 4y^2 \geq 4xy$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。

1. 問題の内容

不等式 $x^2 + 4y^2 \geq 4xy$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与式の左辺から右辺を引きます。

$x^2 + 4y^2 - 4xy$

この式を平方完成の形に変形します。$x$の項に着目すると、

$x^2 - 4xy + 4y^2 = (x - 2y)^2$

したがって、

$x^2 + 4y^2 - 4xy = (x-2y)^2$

$(x-2y)^2$ は常に0以上なので、

$(x-2y)^2 \geq 0$

$x^2 + 4y^2 - 4xy \geq 0$

$x^2 + 4y^2 \geq 4xy$

等号が成り立つのは $(x-2y)^2 = 0$ のときです。

$(x-2y)^2 = 0$ より、 $x-2y = 0$

したがって、$x = 2y$ のときに等号が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$x^2 + 4y^2 - 4xy = (x-2y)^2 \geq 0$

よって、$x^2 + 4y^2 \geq 4xy$

また、等号は $x=2y$ のときに成り立つ。