不等式 $(x^2 + 1)(y^2 + 1) \ge 4xy$ が成り立つことを証明する問題です。途中の式変形がいくつか空欄になっており、それらを埋め、さらに等号が成り立つ条件を求める必要があります。

1. 問題の内容

不等式 $(x^2 + 1)(y^2 + 1) \ge 4xy$ が成り立つことを証明する問題です。途中の式変形がいくつか空欄になっており、それらを埋め、さらに等号が成り立つ条件を求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、左辺から右辺を引いた式を展開し、整理します。

$(x^2 + 1)(y^2 + 1) - 4xy = x^2y^2 + x^2 + y^2 + 1 - 4xy$

次に、$x^2y^2 - 4xy + 1$ の部分を $(x^2y^2 - 2xy + 1) + (x^2-2xy+y^2)$ と変形します。

したがって、1つ目の空欄には、$x^2-2xy+y^2$ が入ります。

$(x^2y^2 - 2xy + 1) + (x^2 + y^2 - 2xy) = (xy-1)^2 + (x-y)^2$

よって、2つ目の空欄には $(xy-1)^2$ が入ります。

不等式 $(xy-1)^2 + (x-y)^2 \ge 0$ は常に成り立ちます。

$(x^2 + 1)(y^2 + 1) \ge 4xy$ が成立します。

等号が成り立つのは、$(xy-1)^2 = 0$ かつ $(x-y)^2 = 0$ のときです。

したがって、$xy - 1 = 0$ かつ $x - y = 0$ 。

$x = y$ を $xy - 1 = 0$ に代入すると、$x^2 - 1 = 0$ となり、$x^2 = 1$ です。

よって、$x = \pm 1$ です。

$x = y$ なので、$x=1$のとき$y=1$, $x=-1$のとき$y=-1$です。

したがって、等号が成り立つのは $x=y=1$ または $x=y=-1$ のときです。

3. 最終的な答え

空欄を埋めた式は以下のようになります。

$(x^2 + 1)(y^2 + 1) - 4xy = x^2y^2 + x^2 + y^2 + 1 - 4xy$

$= (x^2y^2 - 2xy + 1) + (x^2-2xy+y^2)$

$= (xy-1)^2+(x-y)^2 \ge 0$

よって、 $(x^2 + 1)(y^2 + 1) \ge 4xy$

また、等号は $x=y=1$ 、または $x=y=-1$ のときに成り立つ。