問題は、組み合わせの計算に関するもので、${}_{n+1}C_{n-1} = {}_{n+1}C_{n+1-(n-1)} = {}_{n+1}C_2$ を示し、その値を求めるものです。

1. 問題の内容

問題は、組み合わせの計算に関するもので、${}_{n+1}C_{n-1} = {}_{n+1}C_{n+1-(n-1)} = {}_{n+1}C_2$ を示し、その値を求めるものです。

2. 解き方の手順

まず、組み合わせの性質 ${}_n C_r = {}_n C_{n-r}$ を利用します。

${}_{n+1}C_{n-1} = {}_{n+1}C_{(n+1)-(n-1)}$

${}_{n+1}C_{n+1-(n-1)} = {}_{n+1}C_{n+1-n+1} = {}_{n+1}C_2$

したがって、${}_{n+1}C_{n-1} = {}_{n+1}C_2$となります。

次に、${}_{n+1}C_2$ の値を計算します。組み合わせの定義より、

${}_{n+1}C_2 = \frac{(n+1)!}{2!(n+1-2)!} = \frac{(n+1)!}{2!(n-1)!} = \frac{(n+1) \times n \times (n-1)!}{2 \times 1 \times (n-1)!} = \frac{(n+1)n}{2}$

したがって、${}_{n+1}C_2 = \frac{n(n+1)}{2}$

3. 最終的な答え

${}_{n+1}C_{n-1} = \frac{n(n+1)}{2}$