事象 A と B について、$P(A) = 0.4$ かつ $P(A \cap \overline{B}) = 0.3$ であるとき、事象 A と B が独立か従属かを判定する問題です。

1. 問題の内容

事象 A と B について、$P(A) = 0.4$ かつ $P(A \cap \overline{B}) = 0.3$ であるとき、事象 A と B が独立か従属かを判定する問題です。

2. 解き方の手順

事象 A と B が独立であるための条件は、$P(A \cap B) = P(A)P(B)$ が成り立つことです。

また、$P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B})$ という関係が成り立ちます。

したがって、$P(A \cap B) = P(A) - P(A \cap \overline{B})$ です。

問題文より、$P(A) = 0.4$、$P(A \cap \overline{B}) = 0.3$ なので、

$P(A \cap B) = 0.4 - 0.3 = 0.1$ となります。

ここで、$P(B) = x$ とおくと、A と B が独立なとき、$P(A \cap B) = P(A)P(B)$、つまり、$0.1 = 0.4x$ が成り立ちます。

この式を解くと、$x = \frac{0.1}{0.4} = \frac{1}{4} = 0.25$ となります。

したがって、もし $P(B) = 0.25$ ならば、A と B は独立です。

しかし、問題文からは $P(B)$ の値が与えられていません。

A と B が独立な場合、$P(A \cap \overline{B}) = P(A) P(\overline{B})$ が成り立ちます。

$P(\overline{B}) = 1 - P(B)$ であり、$P(A) = 0.4$, $P(A \cap \overline{B}) = 0.3$ なので、

$0.3 = 0.4 (1 - P(B))$

$0.3 = 0.4 - 0.4 P(B)$

$0.4 P(B) = 0.4 - 0.3 = 0.1$

$P(B) = \frac{0.1}{0.4} = 0.25$

$P(A)P(B) = 0.4 \times 0.25 = 0.1$

$P(A \cap B) = 0.1$

$P(A \cap B) = P(A) P(B)$ が成立するので A と B は独立です。

3. 最終的な答え

独立