地面からの高さ14.7mのところから、ボールを初速度9.8m/sで真上に投げ上げた。重力加速度の大きさを9.8m/s^2として、以下の問いに答える。 (1) ボールが最高点に達するのは投げ上げてから何秒後か。 (2) 投げた点から最高点までの高さは何mか。 (3) 地面から最高点までの高さは何mか。 (4) 投げた後、再び投げた点に戻るまでの時間は何秒か。 (5) 投げた後、再び投げた点を通過するときの速さは何m/sか。 (6) ボールが地面に達するのは、投げてから何秒後か。 (7) 地面に落下したときのボールの速さは何m/sか。 (8) この運動のv-tグラフを描きなさい。

1. 問題の内容

地面からの高さ14.7mのところから、ボールを初速度9.8m/sで真上に投げ上げた。重力加速度の大きさを9.8m/s^2として、以下の問いに答える。

(1) ボールが最高点に達するのは投げ上げてから何秒後か。

(2) 投げた点から最高点までの高さは何mか。

(3) 地面から最高点までの高さは何mか。

(4) 投げた後、再び投げた点に戻るまでの時間は何秒か。

(5) 投げた後、再び投げた点を通過するときの速さは何m/sか。

(6) ボールが地面に達するのは、投げてから何秒後か。

(7) 地面に落下したときのボールの速さは何m/sか。

(8) この運動のv-tグラフを描きなさい。

2. 解き方の手順

(1) 最高点では速度が0になることを利用する。等加速度運動の式 $v = v_0 + at$ を用いる。ここで、$v=0$ m/s, $v_0=9.8$ m/s, $a=-9.8$ m/s^2である。

$0 = 9.8 - 9.8t$

$t = 1.0$ s

(2) 等加速度運動の式 $v^2 - v_0^2 = 2ax$ を用いる。ここで、$v=0$ m/s, $v_0=9.8$ m/s, $a=-9.8$ m/s^2である。

$0^2 - 9.8^2 = 2(-9.8)x$

$-96.04 = -19.6x$

$x = \frac{96.04}{19.6} = 4.9$ m

(3) 投げた点の高さが14.7mであるから、地面から最高点までの高さは

$14.7 + 4.9 = 19.6$ m

(4) 上昇時間と下降時間は等しいので、$1.0 \times 2 = 2.0$ s

(5) 投げた点を通過する時の速度は、初速度と大きさが同じで、向きが反対になる。

したがって、速度は-9.8m/s、速さは9.8m/s

(6) 地面に達するまでの時間を求める。

$x = v_0t + \frac{1}{2}at^2$ を用いる。

投げた地点を原点として、下向きを正とすると、$x=14.7$ m, $v_0 = 9.8$ m/s, $a = 9.8$ m/s^2となる。

$14.7 = 9.8t + \frac{1}{2}(9.8)t^2$

$14.7 = 9.8t + 4.9t^2$

$4.9t^2 + 9.8t - 14.7 = 0$

$t^2 + 2t - 3 = 0$

$(t+3)(t-1) = 0$

$t = -3, 1$

$t>0$なので、投げた点から地面までの時間は1秒

最高点に達するまでが1秒だったので、トータルは2秒

(7) 等加速度運動の式 $v = v_0 + at$ を用いる。

$v = 9.8 + 9.8(1)$

$v = 9.8 + 9.8 = 19.6$

したがって、地面に落下した時のボールの速さは19.6m/s

(8) v-tグラフは、

初期速度が9.8m/sで、傾きが-9.8m/s^2の直線となる。

$v(t) = 9.8 - 9.8t$

t=2のとき、v=-9.8m/s

3. 最終的な答え

(1) 1.0秒後

(2) 4.9 m

(3) 19.6 m

(4) 2.0秒

(5) 9.8 m/s

(6) 2.0秒

(7) 19.6 m/s

(8) v-tグラフは、初期速度が9.8m/sで、傾きが-9.8m/s^2の直線。