放物線 $y = 2x^2 - 7x + 3$ を、以下の条件で平行移動したときに得られる放物線の方程式を求める問題です。 (1) $x$ 軸方向に 1 (2) $y$ 軸方向に -3 (3) $x$ 軸方向に -3, $y$ 軸方向に 1 (4) $x$ 軸方向に 2, $y$ 軸方向に -1

1. 問題の内容

放物線 $y = 2x^2 - 7x + 3$ を、以下の条件で平行移動したときに得られる放物線の方程式を求める問題です。

(1) $x$ 軸方向に 1

(2) $y$ 軸方向に -3

(3) $x$ 軸方向に -3, $y$ 軸方向に 1

(4) $x$ 軸方向に 2, $y$ 軸方向に -1

2. 解き方の手順

放物線 $y = f(x)$ を、$x$軸方向に $p$, $y$軸方向に $q$ だけ平行移動すると、新しい放物線の方程式は $y - q = f(x - p)$ となります。つまり、$y = f(x - p) + q$ となります。

元の放物線の方程式は $y = 2x^2 - 7x + 3$ です。

(1) $x$ 軸方向に 1 平行移動する場合、$p = 1$, $q = 0$ なので、$x$ を $x - 1$ に置き換えます。

$y = 2(x - 1)^2 - 7(x - 1) + 3$

$y = 2(x^2 - 2x + 1) - 7x + 7 + 3$

$y = 2x^2 - 4x + 2 - 7x + 10$

$y = 2x^2 - 11x + 12$

(2) $y$ 軸方向に -3 平行移動する場合、$p = 0$, $q = -3$ なので、$y$ を $y + 3$ に置き換えます。

$y + 3 = 2x^2 - 7x + 3$

$y = 2x^2 - 7x + 3 - 3$

$y = 2x^2 - 7x$

(3) $x$ 軸方向に -3, $y$ 軸方向に 1 平行移動する場合、$p = -3$, $q = 1$ なので、$x$ を $x + 3$ に置き換え、$y$ を $y - 1$ に置き換えます。

$y - 1 = 2(x + 3)^2 - 7(x + 3) + 3$

$y - 1 = 2(x^2 + 6x + 9) - 7x - 21 + 3$

$y - 1 = 2x^2 + 12x + 18 - 7x - 18$

$y = 2x^2 + 5x + 1$

(4) $x$ 軸方向に 2, $y$ 軸方向に -1 平行移動する場合、$p = 2$, $q = -1$ なので、$x$ を $x - 2$ に置き換え、$y$ を $y + 1$ に置き換えます。

$y + 1 = 2(x - 2)^2 - 7(x - 2) + 3$

$y + 1 = 2(x^2 - 4x + 4) - 7x + 14 + 3$

$y + 1 = 2x^2 - 8x + 8 - 7x + 17$

$y = 2x^2 - 15x + 24$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x^2 - 11x + 12$

(2) $y = 2x^2 - 7x$

(3) $y = 2x^2 + 5x + 1$

(4) $y = 2x^2 - 15x + 24$