$(\frac{1}{5})^{10}$を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるか。ただし、$log_{10}2 = 0.3010$とする。

## 問題13

1. 問題の内容

$(\frac{1}{5})^{10}$を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるか。ただし、$log_{10}2 = 0.3010$とする。

2. 解き方の手順

まず、$A = (\frac{1}{5})^{10}$とおき、$log_{10}A$を計算する。

$log_{10}A = log_{10} (\frac{1}{5})^{10} = 10 log_{10} (\frac{1}{5}) = 10 log_{10} (5^{-1}) = -10 log_{10} 5$

ここで、$log_{10} 5$を$log_{10} 2$を用いて表す。

$log_{10} 5 = log_{10} (\frac{10}{2}) = log_{10} 10 - log_{10} 2 = 1 - log_{10} 2$

したがって、

$log_{10}A = -10 (1 - log_{10} 2) = -10(1 - 0.3010) = -10(0.6990) = -6.99$

$log_{10}A = -6.99$なので、$A = 10^{-6.99}$である。

$-7 < -6.99 < -6$なので、

$10^{-7} < A < 10^{-6}$

$10^{-7} = 0.0000001$

$10^{-6} = 0.000001$

$A$は、$10^{-7}$より大きく、$10^{-6}$より小さいので、小数第7位に初めて0でない数字が現れる。

3. 最終的な答え

小数第7位