問題13: $(\frac{1}{5})^{10}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$ とする。 問題14: (1) $2^{10} > 10^3$ であることを用いて、$\frac{3}{10} < \log_{10}2$ であることを証明する。 (2) $2^{33} < 1.1 \times 10^9$ であることを用いて、$\log_{10}2 < \frac{10}{33}$ であることを証明する。

1. 問題の内容

問題13: $(\frac{1}{5})^{10}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$ とする。

問題14:

(1) $2^{10} > 10^3$ であることを用いて、$\frac{3}{10} < \log_{10}2$ であることを証明する。

(2) $2^{33} < 1.1 \times 10^9$ であることを用いて、$\log_{10}2 < \frac{10}{33}$ であることを証明する。

2. 解き方の手順

問題13:

$(\frac{1}{5})^{10}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求めるには、$\log_{10}(\frac{1}{5})^{10}$ を計算し、その値から考察します。

$\log_{10}(\frac{1}{5})^{10} = 10 \log_{10}(\frac{1}{5}) = 10 \log_{10}(5^{-1}) = -10 \log_{10}5$

$\log_{10}5 = \log_{10}(\frac{10}{2}) = \log_{10}10 - \log_{10}2 = 1 - \log_{10}2 = 1 - 0.3010 = 0.6990$

よって、$\log_{10}(\frac{1}{5})^{10} = -10 \times 0.6990 = -6.990$

$(\frac{1}{5})^{10} = 10^{-6.990} = 10^{-7} \times 10^{0.010}$

$10^{0.010}$ は1より少し大きい数なので、$10^{-7}$ より少し大きい数になります。よって、小数第7位に初めて0でない数字が現れます。

問題14:

(1) $2^{10} > 10^3$ であるから、両辺の常用対数をとると、

$\log_{10}(2^{10}) > \log_{10}(10^3)$

$10 \log_{10}2 > 3$

$\log_{10}2 > \frac{3}{10}$

(2) $2^{33} < 1.1 \times 10^9$ であるから、両辺の常用対数をとると、

$\log_{10}(2^{33}) < \log_{10}(1.1 \times 10^9)$

$33 \log_{10}2 < \log_{10}1.1 + \log_{10}10^9$

$33 \log_{10}2 < \log_{10}1.1 + 9$

ここで、$\log_{10}1.1$ は小さい正の数であるため、$33 \log_{10}2 < 9 + \log_{10}1.1$ となります。

$\log_{10}1.1 < 0.1$ (概算)とすると、$33 \log_{10}2 < 9.1 < 10$ よって $\log_{10}2 < \frac{10}{33}$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

問題13: 小数第7位

問題14:

(1) $\log_{10}2 > \frac{3}{10}$

(2) $\log_{10}2 < \frac{10}{33}$