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与えられた行列の式 $AX = B$ を満たす行列 $X$ を求める問題です。ここで、$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\ -1 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ 、$B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ です。

代数学行列逆行列線形代数連立方程式
2025/6/22
## 問題 (2) の解答

1. 問題の内容

与えられた行列の式 AX=BAX = B を満たす行列 XX を求める問題です。ここで、A=(12−121−2−113)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\ -1 & 1 & 3 \end{pmatrix} 、B=(1221−13)B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} です。

2. 解き方の手順

まず、行列 AA の逆行列 A−1A^{-1} を求めます。 A−1A^{-1} が存在する場合、X=A−1BX = A^{-1}B によって XX が求まります。
AA の逆行列を求めるために、拡大行列 (A∣I)(A | I) を考えます。ここで、II は3x3の単位行列です。
(A∣I)=(12−1∣10021−2∣010−113∣001)(A | I) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 &|& 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & -2 &|& 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 3 &|& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
この拡大行列に基本変形を行い、AA を単位行列に変換します。

1. 2行目を 2行目 - 2 * 1行目 に変更:

(12−1∣1000−30∣−210−113∣001)\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 &|& -2 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 3 &|& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

2. 3行目を 3行目 + 1行目 に変更:

(12−1∣1000−30∣−210032∣101)\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 &|& -2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 2 &|& 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

3. 2行目を -1/3 倍:

(12−1∣100010∣2/3−1/30032∣101)\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 &|& 2/3 & -1/3 & 0 \\ 0 & 3 & 2 &|& 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

4. 1行目を 1行目 - 2 * 2行目 に変更:

(10−1∣−1/32/30010∣2/3−1/30032∣101)\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 &|& -1/3 & 2/3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 &|& 2/3 & -1/3 & 0 \\ 0 & 3 & 2 &|& 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

5. 3行目を 3行目 - 3 * 2行目 に変更:

(10−1∣−1/32/30010∣2/3−1/30002∣−111)\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 &|& -1/3 & 2/3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 &|& 2/3 & -1/3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 &|& -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

6. 3行目を 1/2 倍:

(10−1∣−1/32/30010∣2/3−1/30001∣−1/21/21/2)\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 &|& -1/3 & 2/3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 &|& 2/3 & -1/3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 &|& -1/2 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}

7. 1行目を 1行目 + 3行目 に変更:

(100∣−5/67/61/2010∣2/3−1/30001∣−1/21/21/2)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &|& -5/6 & 7/6 & 1/2 \\ 0 & 1 & 0 &|& 2/3 & -1/3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 &|& -1/2 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}
よって、A−1=(−5/67/61/22/3−1/30−1/21/21/2)A^{-1} = \begin{pmatrix} -5/6 & 7/6 & 1/2 \\ 2/3 & -1/3 & 0 \\ -1/2 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}
X=A−1B=(−5/67/61/22/3−1/30−1/21/21/2)(1221−13)=((−5/6+14/6−1/2)(−10/6+7/6+3/2)(2/3−2/3+0)(4/3−1/3+0)(−1/2+1−1/2)(−1+1/2+3/2))=(4/300100)X = A^{-1} B = \begin{pmatrix} -5/6 & 7/6 & 1/2 \\ 2/3 & -1/3 & 0 \\ -1/2 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-5/6 + 14/6 - 1/2) & (-10/6 + 7/6 + 3/2) \\ (2/3 - 2/3 + 0) & (4/3 - 1/3 + 0) \\ (-1/2 + 1 - 1/2) & (-1 + 1/2 + 3/2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4/3 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

3. 最終的な答え

X=(4/300100)X = \begin{pmatrix} 4/3 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
## 問題 (3) の解答

1. 問題の内容

与えられた行列の式 AX=BAX = B を満たす行列 XX を求める問題です。ここで、A=(32−123−2−1−23)A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & -2 \\ -1 & -2 & 3 \end{pmatrix} 、B=(47836110−5−12)B = \begin{pmatrix} 4 & 7 & 8 \\ 3 & 6 & 11 \\ 0 & -5 & -12 \end{pmatrix} です。

2. 解き方の手順

まず、行列 AA の逆行列 A−1A^{-1} を求めます。 A−1A^{-1} が存在する場合、X=A−1BX = A^{-1}B によって XX が求まります。
AA の逆行列を求めるために、拡大行列 (A∣I)(A | I) を考えます。ここで、II は3x3の単位行列です。
(A∣I)=(32−1∣10023−2∣010−1−23∣001)(A | I) = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 &|& 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & -2 &|& 0 & 1 & 0 \\ -1 & -2 & 3 &|& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
この拡大行列に基本変形を行い、AA を単位行列に変換します。

1. 1行目と3行目を入れ替える:

(−1−23∣00123−2∣01032−1∣100)\begin{pmatrix} -1 & -2 & 3 &|& 0 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & -2 &|& 0 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & -1 &|& 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

2. 1行目を -1 倍:

(12−3∣00−123−2∣01032−1∣100)\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 &|& 0 & 0 & -1 \\ 2 & 3 & -2 &|& 0 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & -1 &|& 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

3. 2行目を 2行目 - 2 * 1行目 に変更:

(12−3∣00−10−14∣01232−1∣100)\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 &|& 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 4 &|& 0 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & -1 &|& 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

4. 3行目を 3行目 - 3 * 1行目 に変更:

(12−3∣00−10−14∣0120−48∣103)\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 &|& 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 4 &|& 0 & 1 & 2 \\ 0 & -4 & 8 &|& 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}

5. 2行目を -1 倍:

(12−3∣00−101−4∣0−1−20−48∣103)\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 &|& 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -4 &|& 0 & -1 & -2 \\ 0 & -4 & 8 &|& 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}

6. 1行目を 1行目 - 2 * 2行目 に変更:

(105∣02301−4∣0−1−20−48∣103)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 &|& 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -4 &|& 0 & -1 & -2 \\ 0 & -4 & 8 &|& 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}

7. 3行目を 3行目 + 4 * 2行目 に変更:

(105∣02301−4∣0−1−200−8∣1−4−5)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 &|& 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -4 &|& 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -8 &|& 1 & -4 & -5 \end{pmatrix}

8. 3行目を -1/8 倍:

(105∣02301−4∣0−1−2001∣−1/81/25/8)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 &|& 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -4 &|& 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 &|& -1/8 & 1/2 & 5/8 \end{pmatrix}

9. 1行目を 1行目 - 5 * 3行目 に変更:

(100∣5/8−1/2−1/801−4∣0−1−2001∣−1/81/25/8)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &|& 5/8 & -1/2 & -1/8 \\ 0 & 1 & -4 &|& 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 &|& -1/8 & 1/2 & 5/8 \end{pmatrix}
1

0. 2行目を 2行目 + 4 * 3行目 に変更:

(100∣5/8−1/2−1/8010∣−1/211/2001∣−1/81/25/8)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &|& 5/8 & -1/2 & -1/8 \\ 0 & 1 & 0 &|& -1/2 & 1 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1 &|& -1/8 & 1/2 & 5/8 \end{pmatrix}
よって、A−1=(5/8−1/2−1/8−1/211/2−1/81/25/8)A^{-1} = \begin{pmatrix} 5/8 & -1/2 & -1/8 \\ -1/2 & 1 & 1/2 \\ -1/8 & 1/2 & 5/8 \end{pmatrix}
X=A−1B=(5/8−1/2−1/8−1/211/2−1/81/25/8)(47836110−5−12)=(1211231−1−2)X = A^{-1} B = \begin{pmatrix} 5/8 & -1/2 & -1/8 \\ -1/2 & 1 & 1/2 \\ -1/8 & 1/2 & 5/8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 7 & 8 \\ 3 & 6 & 11 \\ 0 & -5 & -12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & -2 \end{pmatrix}

3. 最終的な答え

X=(1211231−1−2)X = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & -2 \end{pmatrix}

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