$a$ は正の定数とする。関数 $y = -x^2 + 4x + 1$ ($0 \le x \le a$) について、最大値と最小値をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とする。関数 $y = -x^2 + 4x + 1$ ($0 \le x \le a$) について、最大値と最小値をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成する。

$y = -x^2 + 4x + 1 = -(x^2 - 4x) + 1 = -(x^2 - 4x + 4 - 4) + 1 = -(x-2)^2 + 4 + 1 = -(x-2)^2 + 5$

したがって、この関数のグラフは上に凸な放物線であり、頂点の座標は$(2, 5)$である。

(1) 最大値を求める。

$0 \le x \le a$ における最大値を考える。軸 $x=2$ が定義域に含まれるかどうかで場合分けする。

(i) $0 < a \le 2$ のとき

$x=0$ で最大値をとる。最大値は $y(0) = -0^2 + 4(0) + 1 = 1$

(ii) $a > 2$ のとき

$x=2$ で最大値をとる。最大値は $y(2) = -(2-2)^2 + 5 = 5$

(2) 最小値を求める。

$0 \le x \le a$ における最小値を考える。軸 $x=2$ と定義域の位置関係で場合分けする。

(i) $0 < a \le 4$ のとき

$x=0$ で最小値をとる。最小値は $y(a) = -a^2 + 4a + 1$

(ii) $a > 4$ のとき

$x=0$ で最小値をとる。最小値は $y(0) = 1$

3. 最終的な答え

(1) 最大値

$0 < a \le 2$ のとき $1$

$a > 2$ のとき $5$

(2) 最小値

$0 < a \le 4$ のとき $-a^2 + 4a + 1$

$a > 4$ のとき $1$