多項式 $B$ を求める問題です。 (1) $x^3 + x^2 - 3x - 1$ を $B$ で割ると、商が $x-1$ 、余りが $-3x+1$ (2) $6x^3 + 11x^2 - 2$ を $B$ で割ると、商が $2x^2 + 3x - 1$ 、余りが $-1$

1. 問題の内容

多項式 $B$ を求める問題です。

(1) $x^3 + x^2 - 3x - 1$ を $B$ で割ると、商が $x-1$ 、余りが $-3x+1$

(2) $6x^3 + 11x^2 - 2$ を $B$ で割ると、商が $2x^2 + 3x - 1$ 、余りが $-1$

2. 解き方の手順

(1) 割る式を $B(x)$ 、割られる式を $A(x)$ 、商を $Q(x)$ 、余りを $R(x)$ とすると、

$A(x) = B(x)Q(x) + R(x)$ が成り立ちます。

(1)の場合、$A(x) = x^3 + x^2 - 3x - 1$, $Q(x) = x-1$, $R(x) = -3x+1$ です。したがって、

$x^3 + x^2 - 3x - 1 = B(x)(x-1) + (-3x+1)$

$B(x)(x-1) = x^3 + x^2 - 3x - 1 - (-3x+1) = x^3 + x^2 - 3x - 1 + 3x - 1 = x^3 + x^2 - 2$

$B(x) = (x^3 + x^2 - 2) / (x-1)$

$x^3 + x^2 - 2$ を $x-1$ で割ると、

$(x^3 - x^2) + (2x^2 - 2x) + (2x - 2) = (x^2+2x+2)(x-1)$

よって、$B(x) = x^2+2x+2$。

(2)の場合、$A(x) = 6x^3 + 11x^2 - 2$, $Q(x) = 2x^2 + 3x - 1$, $R(x) = -1$ です。したがって、

$6x^3 + 11x^2 - 2 = B(x)(2x^2 + 3x - 1) + (-1)$

$B(x)(2x^2 + 3x - 1) = 6x^3 + 11x^2 - 2 - (-1) = 6x^3 + 11x^2 - 1$

$B(x) = (6x^3 + 11x^2 - 1) / (2x^2 + 3x - 1)$

$6x^3 + 11x^2 - 1$ を $2x^2 + 3x - 1$ で割ると、

$(6x^3 + 9x^2 - 3x) + (2x^2 + 3x - 1) = (3x+1)(2x^2 + 3x - 1)$

よって、$B(x) = 3x+1$。

3. 最終的な答え

(1) $B = x^2 + 2x + 2$

(2) $B = 3x + 1$