問題2は、2次正方行列Aの固有値を$\lambda_1$、$\lambda_2$としたとき、以下の3つの命題を証明する問題です。ただし、証明にはケーリー・ハミルトンの定理 $A^2 - (tr A)A + (det A)I = O$ を用いてよいです。 (1) $\lambda_1 + \lambda_2 = tr A$ かつ $\lambda_1 \lambda_2 = det A$ である. (2) Aが正則行列であるための必要十分条件は、$\lambda_1 \neq 0$ かつ $\lambda_2 \neq 0$ である。 (3) $A^2 = O$であるための必要十分条件は、$\lambda_1 = \lambda_2 = 0$である。 問題3は、正則行列Pを用いて、行列Aが $P^{-1}AP = \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix}$ と対角化されたとするとき、以下の2つの命題を証明する問題です。 (1) $det(P^{-1}) = (det P)^{-1}$ であることを示せ。 (2) $det(P^{-1}AP) = det A$ であることを示せ。

## 解答

1. 問題の内容

問題2は、2次正方行列Aの固有値を$\lambda_1$、$\lambda_2$としたとき、以下の3つの命題を証明する問題です。ただし、証明にはケーリー・ハミルトンの定理 $A^2 - (tr A)A + (det A)I = O$ を用いてよいです。

(1) $\lambda_1 + \lambda_2 = tr A$ かつ $\lambda_1 \lambda_2 = det A$ である.

(2) Aが正則行列であるための必要十分条件は、$\lambda_1 \neq 0$ かつ $\lambda_2 \neq 0$ である。

(3) $A^2 = O$であるための必要十分条件は、$\lambda_1 = \lambda_2 = 0$である。

問題3は、正則行列Pを用いて、行列Aが $P^{-1}AP = \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix}$ と対角化されたとするとき、以下の2つの命題を証明する問題です。

(1) $det(P^{-1}) = (det P)^{-1}$ であることを示せ。

(2) $det(P^{-1}AP) = det A$ であることを示せ。

2. 解き方の手順

**問題2**

(1)

ケーリー・ハミルトンの定理 $A^2 - (tr A)A + (det A)I = O$ を用います。

Aの固有値$\lambda$に対して、$A v = \lambda v$となる固有ベクトル$v$が存在します。

この固有ベクトル$v$に対して、ケーリー・ハミルトンの定理の両辺に$v$をかけると、

$A^2 v - (tr A) A v + (det A) I v = O$

$\lambda^2 v - (tr A) \lambda v + (det A) v = O$

$(\lambda^2 - (tr A) \lambda + det A) v = O$

$v \neq 0$より

$\lambda^2 - (tr A) \lambda + det A = 0$

$\lambda_1, \lambda_2$は上式の解なので、解と係数の関係より

$\lambda_1 + \lambda_2 = tr A$

$\lambda_1 \lambda_2 = det A$

が成り立ちます。

(2)

Aが正則行列 $\iff$ $det A \neq 0$

(1)より $det A = \lambda_1 \lambda_2$なので、

Aが正則行列 $\iff$ $\lambda_1 \lambda_2 \neq 0$ $\iff$ $\lambda_1 \neq 0$ かつ $\lambda_2 \neq 0$

(3)

$A^2=O$のとき、ケーリー・ハミルトンの定理より

$(tr A) A = (det A) I$

(1)より $tr A = \lambda_1 + \lambda_2$、 $det A = \lambda_1 \lambda_2$

$(\lambda_1 + \lambda_2) A = (\lambda_1 \lambda_2) I$

必要性($A^2 = O \implies \lambda_1 = \lambda_2 = 0$):

$A^2=O$より、固有値の定義から$A^2v = \lambda^2 v = 0$。$v \neq 0$より、$\lambda^2 = 0$。よって、$\lambda_1 = \lambda_2 = 0$。

十分性($\lambda_1 = \lambda_2 = 0 \implies A^2 = O$):

$\lambda_1 = \lambda_2 = 0$のとき、$tr A = \lambda_1 + \lambda_2 = 0$、$det A = \lambda_1 \lambda_2 = 0$。

ケーリー・ハミルトンの定理より $A^2 - (tr A)A + (det A)I = A^2 - 0*A + 0*I = A^2 = O$

**問題3**

(1)

一般に、正則行列$P$に対して、$P P^{-1} = I$

$det(P P^{-1}) = det(I) = 1$

$det(P) det(P^{-1}) = 1$

$det(P^{-1}) = \frac{1}{det(P)} = (det P)^{-1}$

(2)

行列式の性質より、$det(AB) = det(A) det(B)$なので、

$det(P^{-1}AP) = det(P^{-1}) det(A) det(P)$

(1)より、$det(P^{-1}) = (det P)^{-1}$なので、

$det(P^{-1}AP) = (det P)^{-1} det(A) det(P) = det(A) (det P)^{-1} det(P) = det(A)$

3. 最終的な答え

**問題2**

(1) $\lambda_1 + \lambda_2 = tr A$ かつ $\lambda_1 \lambda_2 = det A$

(2) Aが正則行列であるための必要十分条件は、$\lambda_1 \neq 0$ かつ $\lambda_2 \neq 0$ である。

(3) $A^2 = O$であるための必要十分条件は、$\lambda_1 = \lambda_2 = 0$である。

**問題3**

(1) $det(P^{-1}) = (det P)^{-1}$

(2) $det(P^{-1}AP) = det A$