2つの放物線 $y = 2x^2 + 4x$ と $y = x^2 + ax + b$ の頂点が一致するとき、定数 $a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

2つの放物線 $y = 2x^2 + 4x$ と $y = x^2 + ax + b$ の頂点が一致するとき、定数 $a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = 2x^2 + 4x$ の頂点を求める。

$y = 2(x^2 + 2x)$

$y = 2(x^2 + 2x + 1 - 1)$

$y = 2((x + 1)^2 - 1)$

$y = 2(x + 1)^2 - 2$

よって、放物線 $y = 2x^2 + 4x$ の頂点は $(-1, -2)$ である。

次に、$y = x^2 + ax + b$ の頂点を求める。

$y = x^2 + ax + b$

$y = (x^2 + ax + \frac{a^2}{4}) - \frac{a^2}{4} + b$

$y = (x + \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{4} + b$

よって、放物線 $y = x^2 + ax + b$ の頂点は $(-\frac{a}{2}, -\frac{a^2}{4} + b)$ である。

2つの放物線の頂点が一致するため、以下の2つの式が成り立つ。

$-\frac{a}{2} = -1$

$-\frac{a^2}{4} + b = -2$

$-\frac{a}{2} = -1$ より、$a = 2$ である。

$-\frac{a^2}{4} + b = -2$ に $a = 2$ を代入する。

$-\frac{2^2}{4} + b = -2$

$-\frac{4}{4} + b = -2$

$-1 + b = -2$

$b = -1$

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = -1$