数列 $a_n$ と $b_n$ がそれぞれ $a_n = 2n - 1$ , $b_n = 3^n$ で与えられているとき、和 $S = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 + \dots + a_nb_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $a_n$ と $b_n$ がそれぞれ $a_n = 2n - 1$ , $b_n = 3^n$ で与えられているとき、和 $S = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 + \dots + a_nb_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

求める和は、

$S = \sum_{k=1}^n a_k b_k = \sum_{k=1}^n (2k-1)3^k$

である。

この和を求めるために、次のような変形を行う。

$S = 1 \cdot 3^1 + 3 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3^3 + \dots + (2n-1)3^n$

$3S = 1 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + 5 \cdot 3^4 + \dots + (2n-1)3^{n+1}$

したがって、

$S - 3S = 3^1 + 2 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3^3 + \dots + 2 \cdot 3^n - (2n-1)3^{n+1}$

$-2S = 3 + 2(3^2 + 3^3 + \dots + 3^n) - (2n-1)3^{n+1}$

ここで、等比数列の和の公式より、

$3^2 + 3^3 + \dots + 3^n = \frac{3^2(3^{n-1}-1)}{3-1} = \frac{9(3^{n-1}-1)}{2}$

であるから、

$-2S = 3 + 2 \cdot \frac{9(3^{n-1}-1)}{2} - (2n-1)3^{n+1}$

$-2S = 3 + 9(3^{n-1}-1) - (2n-1)3^{n+1}$

$-2S = 3 + 3^{n+1} - 9 - (2n-1)3^{n+1}$

$-2S = -6 + 3^{n+1} - (2n-1)3^{n+1}$

$-2S = -6 + 3^{n+1}(1 - (2n-1))$

$-2S = -6 + 3^{n+1}(2 - 2n)$

$-2S = -6 + 2(1-n)3^{n+1}$

$S = 3 + (n-1)3^{n+1}$

3. 最終的な答え

$S = (n-1)3^{n+1} + 3$