$a, b$ を自然数とする。$ab$ が3の倍数のとき、$a$ または $b$ が3の倍数であることを示す。

1. 問題の内容

$a, b$ を自然数とする。$ab$ が3の倍数のとき、$a$ または $b$ が3の倍数であることを示す。

2. 解き方の手順

背理法を用いて証明する。

$a$ も $b$ も3の倍数でないと仮定する。

$a$ が3の倍数でないとき、$a$ は $3k+1$ または $3k+2$ (kは整数)と表せる。

$b$ が3の倍数でないとき、$b$ は $3l+1$ または $3l+2$ (lは整数)と表せる。

したがって、$a$ と $b$ の組み合わせは以下の4通りが考えられる。

(1) $a = 3k+1$, $b = 3l+1$ のとき

$ab = (3k+1)(3l+1) = 9kl + 3k + 3l + 1 = 3(3kl + k + l) + 1$

これは3の倍数ではない。

(2) $a = 3k+1$, $b = 3l+2$ のとき

$ab = (3k+1)(3l+2) = 9kl + 6k + 3l + 2 = 3(3kl + 2k + l) + 2$

これは3の倍数ではない。

(3) $a = 3k+2$, $b = 3l+1$ のとき

$ab = (3k+2)(3l+1) = 9kl + 3k + 6l + 2 = 3(3kl + k + 2l) + 2$

これは3の倍数ではない。

(4) $a = 3k+2$, $b = 3l+2$ のとき

$ab = (3k+2)(3l+2) = 9kl + 6k + 6l + 4 = 3(3kl + 2k + 2l + 1) + 1$

これは3の倍数ではない。

以上の(1)～(4)の場合において、$ab$ は3の倍数ではないことが示された。

これは、$ab$ が3の倍数であるという仮定に矛盾する。

したがって、$a$ または $b$ は3の倍数である。

3. 最終的な答え

$ab$ が3の倍数ならば、$a$ または $b$ は3の倍数である。