x, y は実数とする。次の空欄に「必要」、「十分」、「必要十分」のうち、最も適する言葉を入れよ。 (1) $x = -2$ は、$x^2 = 4$ であるための [ ] 条件である。 (2) $xy > 0$ は、$x > 0$ かつ $y > 0$ であるための [ ] 条件である。 (3) $x = y = 2$ は、$2x - y = 2y - x = 2$ であるための [ ] 条件である。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

x, y は実数とする。次の空欄に「必要」、「十分」、「必要十分」のうち、最も適する言葉を入れよ。

(1) $x = -2$ は、$x^2 = 4$ であるための [ ] 条件である。

(2) $xy > 0$ は、$x > 0$ かつ $y > 0$ であるための [ ] 条件である。

(3) $x = y = 2$ は、$2x - y = 2y - x = 2$ であるための [ ] 条件である。

2. 解き方の手順

(1) $x = -2$ は、$x^2 = 4$ であるための条件を考えます。

$x = -2$ ならば、$x^2 = (-2)^2 = 4$ なので、$x^2 = 4$ が成り立ちます。

しかし、$x^2 = 4$ ならば、$x = 2$ または $x = -2$ となるので、$x = -2$ とは限りません。

したがって、$x = -2$ は、$x^2 = 4$ であるための必要条件です。

(2) $xy > 0$ は、$x > 0$ かつ $y > 0$ であるための条件を考えます。

$x > 0$ かつ $y > 0$ ならば、$xy > 0$ が成り立ちます。

しかし、$xy > 0$ ならば、$x > 0$ かつ $y > 0$ であるとは限りません。$x < 0$ かつ $y < 0$ の場合も $xy > 0$ が成り立ちます。

したがって、$xy > 0$ は、$x > 0$ かつ $y > 0$ であるための必要条件です。一方、$x > 0$ かつ $y > 0$ は、$xy > 0$ であるための十分条件です。

(3) $x = y = 2$ は、$2x - y = 2y - x = 2$ であるための条件を考えます。

$x = y = 2$ ならば、$2x - y = 2(2) - 2 = 2$ および $2y - x = 2(2) - 2 = 2$ なので、$2x - y = 2y - x = 2$ が成り立ちます。

逆に、$2x - y = 2$ および $2y - x = 2$ という連立方程式を解くと、以下のようになります。

$2x - y = 2$ ...(1)

$2y - x = 2$ ...(2)

(1) * 2 + (2) より、

$4x - 2y + 2y - x = 4 + 2$

$3x = 6$

$x = 2$

$x = 2$ を (1) に代入すると、

$2(2) - y = 2$

$4 - y = 2$

$y = 2$

したがって、$x = y = 2$ となります。

$x = y = 2$ ならば、$2x - y = 2y - x = 2$ が成り立ち、$2x - y = 2y - x = 2$ ならば、$x = y = 2$ が成り立ちます。

したがって、$x = y = 2$ は、$2x - y = 2y - x = 2$ であるための必要十分条件です。

3. 最終的な答え

(1) 必要条件

(2) 十分条件

(3) 必要十分条件