x, y は実数とします。次の(1)から(4)について、左側の条件が右側の条件であるための「必要条件」、「十分条件」、「必要十分条件」のうち、どれに当てはまるかを答えます。 (1) $x=2$ は、$x^2 - x - 2 = 0$ であるための条件 (2) $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ は、$\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ であるための条件 (3) $x=y=2$ は、$2x - y = 2y - x = 2$ であるための条件 (4) $xy \neq 0$ は、$x \neq 0$ であるための条件

1. 問題の内容

x, y は実数とします。次の(1)から(4)について、左側の条件が右側の条件であるための「必要条件」、「十分条件」、「必要十分条件」のうち、どれに当てはまるかを答えます。

(1) $x=2$ は、$x^2 - x - 2 = 0$ であるための条件

(2) $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ は、$\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ であるための条件

(3) $x=y=2$ は、$2x - y = 2y - x = 2$ であるための条件

(4) $xy \neq 0$ は、$x \neq 0$ であるための条件

2. 解き方の手順

(1)

$x=2$ ならば、$x^2 - x - 2 = 2^2 - 2 - 2 = 4 - 2 - 2 = 0$ となるので、$x=2$ は $x^2 - x - 2 = 0$ であるための十分条件です。

一方、$x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1) = 0$ より、$x=2$ または $x=-1$ となります。したがって、$x^2 - x - 2 = 0$ ならば $x=2$ とは限りません。よって、$x=2$ は $x^2 - x - 2 = 0$ であるための必要条件ではありません。

以上より、$x=2$ は $x^2 - x - 2 = 0$ であるための十分条件です。

(2)

$\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ (合同) ならば、当然 $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ (相似) です。したがって、$\triangle ABC \sim \triangle PQR$ は $\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ であるための必要条件です。

しかし、$\triangle ABC \sim \triangle PQR$ であっても、$\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ であるとは限りません。たとえば、$\triangle ABC$ の各辺の長さが1で、$\triangle PQR$ の各辺の長さが2の場合、$\triangle ABC \sim \triangle PQR$ ですが、$\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ ではありません。したがって、$\triangle ABC \sim \triangle PQR$ は $\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ であるための十分条件ではありません。

以上より、$\triangle ABC \sim \triangle PQR$ は、$\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ であるための必要条件です。

(3)

$x=y=2$ のとき、$2x - y = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2$ であり、$2y - x = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2$ であるから、$2x - y = 2y - x = 2$ が成り立ちます。よって、$x=y=2$ は、$2x - y = 2y - x = 2$ であるための十分条件です。

次に、$2x - y = 2y - x = 2$ のとき、$2x - y = 2$ かつ $2y - x = 2$ である。この連立方程式を解く。

$2x - y = 2$

$2y - x = 2$

上の式を2倍すると、$4x - 2y = 4$。これと下の式を足すと、

$4x - 2y + 2y - x = 4 + 2$

$3x = 6$

$x = 2$

$2(2) - y = 2$

$4 - y = 2$

$y = 2$

よって、$x = y = 2$ です。したがって、$2x - y = 2y - x = 2$ は、$x=y=2$ であるための必要条件です。

以上より、$x=y=2$ は、$2x - y = 2y - x = 2$ であるための必要十分条件です。

(4)

$xy \neq 0$ とは、$x \neq 0$ かつ $y \neq 0$ ということです。

$xy \neq 0$ ならば、$x \neq 0$ が成り立ちます。

一方、$x \neq 0$ であっても、$xy \neq 0$ とは限りません。例えば、$x=1$, $y=0$ のとき、$x \neq 0$ ですが、$xy = 1 \cdot 0 = 0$ となり、$xy \neq 0$ ではありません。

したがって、$xy \neq 0$ は、$x \neq 0$ であるための十分条件です。

$x \neq 0$ であるためには、$xy \neq 0$ であることが必要ではありません。

以上より、$xy \neq 0$ は、$x \neq 0$ であるための十分条件です。

3. 最終的な答え

(1) 十分条件

(2) 必要条件

(3) 必要十分条件

(4) 十分条件