$\alpha$ の動径が第2象限、$\beta$ の動径が第1象限にあるとき、$\sin\alpha = \frac{4}{5}, \cos\beta = \frac{12}{13}$である。このとき、次の値を求めよ。 (1) $\sin(\alpha + \beta)$ (2) $\sin(\alpha - \beta)$

1. 問題の内容

$\alpha$ の動径が第2象限、$\beta$ の動径が第1象限にあるとき、$\sin\alpha = \frac{4}{5}, \cos\beta = \frac{12}{13}$である。このとき、次の値を求めよ。

(1) $\sin(\alpha + \beta)$

(2) $\sin(\alpha - \beta)$

2. 解き方の手順

まず、$\cos\alpha$と$\sin\beta$の値を求める。

$\alpha$は第2象限にあるので、$\cos\alpha < 0$である。$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$より、

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

したがって、$\cos\alpha = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$

$\beta$は第1象限にあるので、$\sin\beta > 0$である。$\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$より、

$\sin^2\beta = 1 - \cos^2\beta = 1 - (\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}$

したがって、$\sin\beta = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}$

(1) $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

$= \frac{4}{5} \cdot \frac{12}{13} + (-\frac{3}{5}) \cdot \frac{5}{13} = \frac{48}{65} - \frac{15}{65} = \frac{33}{65}$

(2) $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$

$= \frac{4}{5} \cdot \frac{12}{13} - (-\frac{3}{5}) \cdot \frac{5}{13} = \frac{48}{65} + \frac{15}{65} = \frac{63}{65}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin(\alpha + \beta) = \frac{33}{65}$

(2) $\sin(\alpha - \beta) = \frac{63}{65}$