$0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$ のとき、関数 $y = \sqrt{3} \sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta - \sqrt{3} \cos^2 \theta - 4$ の最大値と最小値、およびそのときの $\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$ のとき、関数 $y = \sqrt{3} \sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta - \sqrt{3} \cos^2 \theta - 4$ の最大値と最小値、およびそのときの $\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を変形する。

三角関数の2倍角の公式 $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$, $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ を用いると、

$y = \sqrt{3} \sin^2 \theta + \sin 2\theta - \sqrt{3} \cos^2 \theta - 4$

$y = \sin 2\theta - \sqrt{3} (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) - 4$

$y = \sin 2\theta - \sqrt{3} \cos 2\theta - 4$

ここで、三角関数の合成を行う。

$R \sin(2\theta + \alpha) = R \sin 2\theta \cos \alpha + R \cos 2\theta \sin \alpha$

となる $R, \alpha$ を考える。

$R \cos \alpha = 1, R \sin \alpha = - \sqrt{3}$ となるから、

$R^2 = 1^2 + (-\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$

よって $R = 2$ である。

$\cos \alpha = \frac{1}{2}, \sin \alpha = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\alpha$ は、$\alpha = - \frac{\pi}{3}$ である。

したがって、

$y = 2 \sin (2\theta - \frac{\pi}{3}) - 4$

$0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$ より、

$0 \le 2\theta < \pi$

$- \frac{\pi}{3} \le 2\theta - \frac{\pi}{3} < \frac{2\pi}{3}$

$\sin (2\theta - \frac{\pi}{3})$ の最大値は $1$ ($\sin \frac{\pi}{2} = 1$)

このとき $2\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$

$2\theta = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}$

$\theta = \frac{5\pi}{12}$

$\sin (2\theta - \frac{\pi}{3})$ の最小値は $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ ($\sin (-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$)

このとき $2\theta - \frac{\pi}{3} = - \frac{\pi}{3}$

$2\theta = 0$

$\theta = 0$

したがって、

最大値は $2(1) - 4 = -2$ で、$\theta = \frac{5\pi}{12}$

最小値は $2(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - 4 = - \sqrt{3} - 4$ で、$\theta = 0$

3. 最終的な答え

最大値: $-2$, $\theta = \frac{5\pi}{12}$

最小値: $-\sqrt{3} - 4$, $\theta = 0$