関数 $y = \log_2 x$ の定義域が $\frac{1}{2} < x \leq 3$ であるとき、この関数の値域を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \log_2 x$ の定義域が $\frac{1}{2} < x \leq 3$ であるとき、この関数の値域を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、対数関数 $y = \log_2 x$ は、底が2であるため、単調増加関数です。つまり、$x$ が増加すると $y$ も増加します。したがって、定義域の端の値に対応する $y$ の値を計算すれば、値域を求めることができます。

定義域の下限は $x = \frac{1}{2}$ に近づきます。このとき、$y$ は $\log_2 \frac{1}{2}$ に近づきます。

$\log_2 \frac{1}{2} = \log_2 2^{-1} = -1$

したがって、定義域の下限における $y$ の値は $-1$ に近づきます。

定義域の上限は $x = 3$ です。このとき、$y = \log_2 3$ となります。

$y = \log_2 3$ は具体的な数値で表すことが難しいですが、$2^1 = 2 < 3 < 2^2 = 4$ であることから、$1 < \log_2 3 < 2$ であることがわかります。正確な数値は電卓などを用いると求められますが、ここでは $\log_2 3$ のままにします。

定義域が $\frac{1}{2} < x \leq 3$ であるので、値域は $-1 < y \leq \log_2 3$ となります。

3. 最終的な答え

$-1 < y \leq \log_2 3$