関数 $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ について、$x$ の範囲が $\frac{1}{4} \le x < 8$ のとき、$y$ の値域を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ について、$x$ の範囲が $\frac{1}{4} \le x < 8$ のとき、$y$ の値域を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数の性質を確認します。対数関数 $y = \log_a x$ において、$a$ が 1 より小さい場合（この問題では $a = \frac{1}{2}$）、関数は減少関数となります。つまり、$x$ が増加すると $y$ は減少します。

次に、$x$ の範囲の端点における $y$ の値を計算します。

$x = \frac{1}{4}$ のとき、

$y = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} = \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2})^2 = 2$

$x = 8$ のとき、

$y = \log_{\frac{1}{2}} 8 = \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2})^{-3} = -3$

$x$ が $\frac{1}{4}$ から $8$ まで増加するとき、$y$ は $2$ から $-3$ まで減少します。しかし、$x=8$ のときは不等号にイコールが含まれていないので、$y=-3$ のときもイコールは含まれません。

したがって、$y$ の値域は $-3 < y \le 2$ となります。

3. 最終的な答え

$-3 < y \le 2$