与えられた条件を満たす円の方程式を求める問題です。 (1) $x$軸と$y$軸に接し、点$(2,1)$を通る円の方程式を求めます。 (2) 3点$A(0,3)$, $B(-1,2)$, $C(3,2)$を通る円の方程式を求めます。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす円の方程式を求める問題です。

(1) $x$軸と$y$軸に接し、点$(2,1)$を通る円の方程式を求めます。

(2) 3点$A(0,3)$, $B(-1,2)$, $C(3,2)$を通る円の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$x$軸と$y$軸に接する円の中心は$(r, r)$ (ただし$r>0$)と表せる。半径は$r$。したがって、円の方程式は

$(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2$

この円が点$(2,1)$を通るので、

$(2-r)^2 + (1-r)^2 = r^2$

$4 - 4r + r^2 + 1 - 2r + r^2 = r^2$

$r^2 - 6r + 5 = 0$

$(r-1)(r-5) = 0$

$r=1, 5$

よって、円の方程式は

$(x-1)^2 + (y-1)^2 = 1$

$(x-5)^2 + (y-5)^2 = 25$

(2)

求める円の方程式を$x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$とおく。

点$A(0,3)$を通るので、

$0^2 + 3^2 + l \cdot 0 + m \cdot 3 + n = 0$

$3m + n + 9 = 0$ ...(1)

点$B(-1,2)$を通るので、

$(-1)^2 + 2^2 + l \cdot (-1) + m \cdot 2 + n = 0$

$-l + 2m + n + 5 = 0$ ...(2)

点$C(3,2)$を通るので、

$3^2 + 2^2 + l \cdot 3 + m \cdot 2 + n = 0$

$3l + 2m + n + 13 = 0$ ...(3)

(3)-(2)より、

$4l + 4 = 0$

$l = -1$

(3)-(1)より、

$3l - m + 4 = 0$

$3(-1) - m + 4 = 0$

$m = 1$

(1)より、

$3(1) + n + 9 = 0$

$n = -12$

したがって、円の方程式は$x^2 + y^2 - x + y - 12 = 0$

$(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + (y + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} - 12 = 0$

$(x - \frac{1}{2})^2 + (y + \frac{1}{2})^2 = \frac{49}{2}$

$(x - \frac{1}{2})^2 + (y + \frac{1}{2})^2 = (\frac{7}{\sqrt{2}})^2$

3. 最終的な答え

(1) $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 1$ , $(x-5)^2 + (y-5)^2 = 25$

(2) $x^2 + y^2 - x + y - 12 = 0$